Август 1900 года ознаменовался проведением в Париже II Международного конгресса математиков, на котором один из корифеев науки Давид Гильберт сформулировал наиболее кардинальные проблемы, требующие разрешения.
К началу XXI века почти все они были решены, либо покинули список по другим причинам – например, как нечетко сформулированные, – и сто лет спустя после Гильберта математик Стивен Смейл выдвинул новый список 18 проблем, стоящих перед математиками и физиками нашего времени. Попытку Смейла можно засчитать, однако куда большую известность получил альтернативный вариант, предложенный авторитетным американским институтом Клэя. Семь проблем были названы на громком мероприятии, специально организованном в Париже. Одна из них, гипотеза Римана, перекочевала еще из списка 1900 года, а еще одна – гипотеза Пуанкаре – оказалась доказанной уже два года спустя.Данная статья представляет краткий обзор «Задач тысячелетия», за решение каждой из которых институт Клэя готов выплатить миллион долларов. Кстати, это касается и гипотезы Пуанкаре: заслуженный миллион по-прежнему ожидает выплаты, и пока что Григорий Перельман отказывается принять награду. Разумеется, мы упростили многие моменты, постаравшись объяснить задачи так, чтобы суть была понятной даже человеку, совсем далекому и от высшей, и какой-либо другой математики.
1. Равенство классов P и NP
Область: теория алгоритмов
Предположено в начале 1970‑х, остается нерешенным
Представьте, что вам надо закупить офисной
техники, мебели и канцтоваров на 500 тыс. рублей – и вы просматриваете
прайс-лист поставщика. Вы можете выбрать, что хотите, но в списке обязательно
должны быть два принтера, одно кресло руководителя, 50 шариковых ручек,
остальное по желанию. Сколько комбинаций возможно? Это вариант «задачи о
ранце», которая в классическом виде состоит в том, чтобы уложить в объем
рюкзака как можно больше вещей определенного объема и стоимости. Проверить
конечный вариант легко, но найти его сложно. К этим задачам, кстати, относится
и «вскрытие» чужого пароля, который шифруется таким образом, что система может
легко проверить его корректность, но взломщику практически невозможно вычислить
правильный вариант в море альтернативных решений зашифрованной строки.
Такие проблемы в теории алгоритмов относятся
классу сложности NP: их решение можно быстро проверить. Часть из них входят в
класс P – те, решение которых еще и легко находится (за «обозримое», или,
строже говоря, полиномиальное время). Вопрос состоит в том, всегда ли
существуют простые алгоритмы решения NP-задач – то есть, равны ли классы NP и
Р. Сегодня предполагается, что ответ на него будет отрицательным: далеко не все
задачи, решения которых легко проверяемы, могут быть легко решаемы. Математик
из NASA Субит Чакрабарти прогнозирует, что окончательный ответ может быть
получен в течение ближайших 50 лет.
 |
Диаграмма классов сложности при
условии P ≠ NP / © wikipedia
|
2. Существование и гладкость решений уравнений Навье —
Стокса
Область: математическая физика (гидродинамика)
Задача известна более ста лет, остается нерешенной
Задача на стыке математики и классической физики вырастает из работ, проделанных еще в XIX в., когда ученые стали формулировать строгие законы, которые описывают движение жидкостей. Полученные тогда уравнения Навье – Стокса остаются одними из важнейших в гидродинамике и аэродинамике. Они позволяют вычислять скорость потока с учетом вязкости, сжимаемости, плотности, давления и т. п., и используются повсеместно. Однако решить их в общем виде до сих пор не удается, и расчеты ведутся лишь для отдельных, частных случаев.
В решении уравнений Навье – Стокса скрываются многие тайны одного из самых «твердых орешков» современной физики – проблемы турбулентности. С ней современные технологии встречаются повсеместно, от самолетов и подлодок до ветряных электростанций и автомобилей, – но во многом турбулентность остается плохо понятной, плохо просчитываемой и почти непредсказуемой. Поэтому ученые штурмуют эту «Задачу тысячелетия» с особенным упорством. Математик Субит Чакрабарти предполагает, что в течение полувека решение сложных уравнений турбулентности может быть найдено. Пока же заявку на победу подал казахстанский математик Мухтарбай Отелбаев, в расчетах которого впоследствии была найдена ошибка, а также узбекский ученый Шокир Довлатов, решение которого еще проверяется.
Американский математик Стивен Смейл – лауреат премии Филдса за работы в области топологии. В 2000 г. он возглавлял факультет математики в Калифорнийском университете в Беркли, когда академик Владимир Арнольд – тогда еще президент Международного математического союза (IMU) – предложил ему подобрать список новых проблем на смену уже выполнившему свои задачи списку Гильберта. Смейл подобрал 18 таких задач, из которых некоторые, включая равенство Р и NP, гипотезы Пуанкаре и Римана, решения уравнений Навье – Стокса и т. д., вошли и в список «Задач тысячелетия», подготовленный институтом Клэя.
 |
Сплошная среда / © Academic.ru
|
3. Гипотеза Римана
Область: теория чисел
Сформулирована в 1859 г., остается нерешенной
Многие из нас еще со школы помнят о существовании простых чисел –
тех, которые делятся только на 1 и на самих себя, как 2, 3, 5, 7, 11 и
т. д. Простые числа играют важную роль и в «абстрактной» теории чисел, и
в практике – например, в работе криптографических алгоритмов. Если
отметить положение всех простых чисел на числовой оси, то мы увидим, что
их распределение неравномерно и, кажется, не подчиняется какой-то
закономерности, поэтому заранее предсказать, где именно появится
следующее простое число, не получается. Однако Бернард Риман показал,
что это распределение похоже на точки, в которых дзета-функция – ς(s) =
1/1s + 1/2s + 1/3s + 1/4s + … – обращается в ноль.
Известно, что нулевое значение она имеет, когда s – отрицательное
четное число. Но где еще? Согласно выкладкам Римана, другие нули
появляются, если s – комплексное число, содержащее действительную часть
1/2. Задача была названа в числе актуальных еще Давидом Гильбертом в
1900 г. и не решена до сих пор, хотя практически все математики готовы
согласиться: расчеты, проведенные даже с использованием суперкомпьютеров
и для невероятно громадных простых чисел, подтверждают справедливость
гипотезы Римана. Она доказана для примерно 10 трлн первых решений, но в
общем виде пока – нет. По словам Субита Чакрабарти, за годы работы над
этой проблемой математики продвинулись достаточно далеко, и ответ может
быть найден в ближайшие десятилетия.
 |
Действительная (красная) и мнимая
(синяя)
компоненты дзета-функции / © wikipedia
|
4. Гипотеза Пуанкаре
Область: топология
Появилась в 1900–1904 гг., решена в 2002 г.
Гипотеза Пуанкаре относится к топологии – одной из самых сложных и молодых областей математики, которая исследует свойства геометрических фигур и их деформаций, происходящих без разрыва. Слепите из пластилина пирамиду – вы легко превратите ее в конус, цилиндр или даже сферу, нигде ничего не склеивая и не разрывая. Слепите бублик – и такой трюк вам уже не удастся, хотя бублик легко деформируется, например в чашку с ручкой. Говоря строже, поверхности сферы и цилиндра гомеоморфны, а сферы и тора – негомеоморфны. Но это для простейшего случая: то, что любая замкнутая (без дырок) двухмерная поверхность гомеоморфна двухмерной сфере, показал еще Пуанкаре. Решение для поверхностей более высоких размерностей потребовало около века.
Интересно, что для размерностей 5 и выше гипотеза Пуанкаре была доказана еще в 1960-х, а для размерности 4 – в 1980-х гг. Случай с гомеоморфностью любой трехмерной поверхности трехмерной сфере оказался самым сложным. Показать это удалось лишь в 2002 г. петербургскому математику Григорию Перельману, который моментально прославился на весь мир. После серии неприятных интриг и попыток отобрать у него славу первооткрывателя Перельман, и без того имевший славу «сумасшедшего гения», порвал все контакты с официальным математическим миром, отказался от получения денежной премии от института Клэя и ведет затворнический образ жизни, не принимая многочисленные предложения о работе и участии во всевозможных профессиональных мероприятиях и форумах.
 |
Гипотеза Пуанкаре
/ © youtube
|
5. Гипотеза Ходжа
Область: алгебраическая геометрия
Сформулирована в 1941 г., остается нерешенной
Со времен Декарта алгебраическая геометрия достигла большого
прогресса в описании форм сложных объектов. Мы можем предложить
уравнение, решения которого будут соответствовать той или иной фигуре,
например, сферу описать как (x - a)2 + (y - b)2 = r2.
Если объект слишком сложен, мы можем аппроксимировать эту форму,
«склеивая» вместе более простые фигуры – тогда ей будет соответствовать
решение системы уравнений. Такой подход применяется очень широко, и
математики далеко ушли даже от объектов, которым вообще соответствуют
какие-либо геометрические аналоги – к тому, что называется более широким
термином «многообразие».
Вопрос состоит в том, насколько этот подход можно применять к особому
классу проективных алгебраических многообразий. Шотландец Уильям Ходж
нашел остроумный метод, позволяющий проверять соответствие таких
многообразий и алгебраические уравнения их представления, однако
доказать его справедливость в общем случае пока не удается. Более того,
математик Субит Чакрабарти считает эту задачу чересчур «абстрактной» для
текущего уровня развития науки – ее решение требует разработки новых,
плохо освоенных разделов алгебраической геометрии, и будет найдено очень
нескоро. Пока что гипотеза доказана лишь для некоторых частных случаев,
и математикам неизвестно, верна ли она в принципе.
 |
©Depositphotos
|
6. Теория Янга – Миллса
Область: математическая физика (физика элементарных частиц)
Возникла в 1950-х, остается нерешенной
Теория Янга – Миллса относится к области физики элементарных частиц,
являясь фундаментом современных представлений о них. По сути, это набор
уравнений, которые пытаются предсказать поведение частиц и являются
попыткой дать объединенное описание трех из четырех фундаментальных
взаимодействий природы – сильного, слабого и электромагнитного. Удалось
это лишь частично, создав аппарат для описания объединенного
электрослабого взаимодействия. Решить уравнения, включив в них сильное
взаимодействие, пока не получается, и для него найдено отдельное
решение, которое, кстати, привело к открытию кварков.
Получается, что теория Янга – Миллса включает электрослабое
взаимодействие и – отдельно – сильное. Эксперименты показывают, что она в
принципе может их и объединить: предсказания уравнений согласуются с
экспериментами, как натурными, так и расчетными, модельными. Однако
математически доказать это пока не получается. Показано, что такая
строгая теория требует построить описания для каждой компактной
калибровочной группы – то есть группы преобразований, при которых
свойства системы-частицы остаются неизменными (как сдвиг фазы не влияет
на свойства волны-электрона), – причем сделать это предстоит для
четырехмерного пространства-времени. Субит Чакрабарти предполагает, что
решение этой задачи потребует около века и ювелирной работы нескольких
поколений математиков
 |
Янг Чжэньнин / © wikipedia
|
7. Гипотеза Бёрча – Свиннертон-Дайера
Область: алгебраическая геометрия
Задача выдвинута в начале 1960-х, остается нерешенной
Уравнения, у которых и переменные, и решения являются целыми числами,
названы в честь древнегреческого математика диофантовыми. В простейшем
их виде они действительно просты – как, например,
у = х2
:Мы помним, что геометрическим решением такого школьного уравнения будет парабола. Но в более сложных случаях все становится по-настоящему сложным. Более того, еще советский математик Юрий Матиясевич показал, что универсального решения диофантовых уравнений не существует, тем самым ответив на вопрос 10-й проблемы Гильберта.
Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера (это два человека – Питер
Свиннертон-Дайер и Брайан Бёрч) утверждает, что множество решений
эллиптической кривой связано с поведением L-функции в районе 1. Эта
функция вычисляется, как уже знакомая нам по гипотезе Римана
дзета-функция, и количество рациональных решений бесконечно тогда (и
только тогда), когда L(1) = 0. Математик Виктор Колывагин доказал в одну
сторону, что если L(1) ≠ 0, то количество рациональных точек конечно.
Проделать обратные выкладки не получается никак. По словам Субита
Чакрабарти, возможно, что окончательное доказательство этой гипотезы в
принципе не может быть получено, о чем говорит ответ на вопрос 10-й проблемы Гильберта. Вероятно, ответы на гипотезу Бёрча –
Свиннертон-Дайера будут получены лишь в частном виде.