 |
| Карл Фридрих Гаусс |
В 1796 году Карл
Фридрих Гаусс, учащийся первого курса Геттингенского университета, решил
задачу, перед которой математическая наука пасовала более двух с лишним тысяч
лет.
Несмотря на то, что еще
древними греками были найдены способы построения с помощью только лишь циркуля
и линейки правильных многоугольников с числом сторон 3, 4, 5, 15, а также с
числом сторон, большим в 2 раза, в отношении прочих правильных многоугольников
царила полная неизвестность.
И вот именно в этот
день будущий «король математиков» Гаусс догадался, как построить правильный
17-угольник, кстати, также, с помощью циркуля и линейки.
Это открытие стало
поворотным пунктом в его жизни: ранее колебавшийся между филологией и
математикой, теперь он твердо решил посвятить себя последней. Кстати, он
завещал изобразить 17-угольник
на своем надгробии. Впоследствии скульптор отказался это сделать, утверждая,
что построение будет настолько сложным, что результат нельзя будет отличить от
окружности.
Впервые построение
правильного 17-угольника было опубликована фон Пфейдерером в 1802 году. А в
1825 году Йоханнес Эрхингер опубликовал подробное описание построения правильного
семнадцатиугольника в 64 шагах.
Проблема выбора
геометрии, наиболее соответствующей реальному физическому пространству,
первоначально поставленная в работах Гаусса, способствовала рождению еще одного
творения человеческой мысли, убедившего математический мир, что геометрия
физического пространства может быть неевклидовой. Автором новых идей был Георг
Бернхард Риман (1826-1866), ученик Гаусса, ставший впоследствии профессором
Гёттингенского университета. Хотя работы Лобачевского и Бойаи не были известны
Риману в деталях, о них был великолепно осведомлен Гаусс, и Риман, несомненно,
знал о сомнениях Гаусса относительно того, в какой мере истинна и насколько
применима к физическому пространству евклидова геометрия.
Гаусс проложил дорогу
поразительным идеям Римана, высказав еще одну революционную мысль.
Обычно мы изучаем
геометрию на поверхности сферы, считая последнюю частью трехмерного евклидова
пространства и тем самым заранее исключая любые радикально новые идеи. Но
предположим, что мы рассматриваем поверхность сферы как пространство само по
себе и строим геометрию такого пространства. Прямоугольные координаты здесь не
очень подходят, так как для их построения необходимы прямые, которые
отсутствуют на сфере. В качестве координат какой-либо точки на сфере можно было
бы взять, например, широту и долготу.
Еще одна проблема
возникает при попытке определить кратчайшие пути из одной точки в другую. Наш
повседневный опыт, интерпретированный всеведущими математиками, подсказывает,
что кратчайшими путями на поверхности сферы являются дуги больших кругов
(например, меридианы), т.е. кругов, центр которых совпадает с центром Земли.
Эти дуги и есть «прямые» в сферической геометрии. Продолжая изучать геометрию
поверхности сферы, мы обнаружили бы немало странных теорем. Например, сумма
углов треугольника, образованного дугами больших кругов, т.е. отрезками
«прямых» сферической геометрии, больше 180°.
В своей знаменитой
работе, опубликованной в 1827 г., Гаусс исподволь проводил следующую мысль:
если мы изучаем поверхности как независимые пространства, то соответствующие
этим пространствам двумерные геометрии могут оказаться весьма причудливыми в
зависимости от формы поверхностей. Например, эллипсоидальная поверхность,
имеющая форму мяча для регби, имеет иную геометрию, нежели сферическая
поверхность.
А как обстоит дело на
сфере с «параллельными»?
Поскольку любые два
больших круга пересекаются не один раз, а дважды, в сферической геометрии нам
не обойтись без аксиомы, гласящей, что любые две «прямые» пересекаются в двух
точках.
Совершенно ясно, что
геометрия поверхности сферы будет неевклидовой; впоследствии она получила
название удвоенной эллиптической геометрии. Такая геометрия вполне естественна
для поверхности Земли. Она достаточно «удобна в обращении» и по крайней мере
ничуть не уступает той, которая возникает при рассмотрении сферы как двумерной
поверхности в трехмерной евклидовой геометрии.
Идеи Гаусса были хорошо
знакомы Риману. Гаусс предложил Риману несколько тем для публичной лекции, с
которой тому предстояло выступить для получения звания приват-доцента,
дававшего право на преподавание в Гёттингенском университете.
Риман остановил свой
выбор на основаниях геометрии и в 1854 г. в присутствии Гаусса прочел свою
лекцию на философском факультете. Лекция Римана была опубликована в 1868 г. под
названием «О гипотезах, лежащих в основании геометрии».
Проведенное Риманом
исследование геометрии физического пространства потребовало пересмотра всей
проблемы, касающейся структуры пространства.
Риман первым поставил вопрос:
что же нам достоверно известно о физическом пространстве?
Какие условия, или
факты, заложены в самом понятии пространства еще до того, как мы, опираясь на
опыт, выделяем конкретные аксиомы, которые выполняются в физическом
пространстве?
Из этих исходных
условий, или фактов, Риман намеревался вывести остальные свойства пространства.
Такие аксиомы и логические следствия из них и необходимо априори признать
истинными. Любые другие свойства пространства надлежало изучать эмпирически.
Одна из целей Римана
состояла в доказательстве того, что аксиомы Евклида являются эмпирическими, а
отнюдь не самоочевидными истинами. Риман избрал аналитический подход
(опирающийся на алгебру и анализ), поскольку геометрические доказательства не
свободны от влияния нашего чувственного опыта и в них возможны допущения, не
входящие явно в число посылок.
Поиск априорного
(предшествующего нашему знанию) пространства привел Римана к исследованию
локального поведения пространства, ибо свойства последнего могут изменяться от
точки к точке. Такой подход получил название дифференциальной геометрии в отличие от геометрии пространства в целом, которой
занимался Евклид, а в неевклидовой геометрии — Гаусс, Бойаи и Лобачевский.
Следуя локальному
подходу к геометрии, Риман столкнулся с необходимостью определить расстояния
между двумя типичными, или характерными, точками, координаты которых отличаются
на бесконечно малые величины.
- Время должно существовать пространственно; временные события должны существовать, а не случаться, существовать до и после совершения и лежать как бы на одной плоскости.
- Следствия должны существовать одновременно с причинами.
- Не может быть прежде, теперь и после.
- Моменты разных эпох, разделенные большими промежутками времени, существуют одновременно и могут соприкасаться.
(Бернхард
Риман, немецкий математик)