Этот рисунок, напоминающий радугу, — на самом деле довольно любопытный график. Точка над каждым четным числом (которые откладываются вправо по горизонтальной оси) показывает, сколькими способами можно разложить это число на сумму двух простых чисел. Например, число 6 допускает одно разложение (3 + 3), число 10 — два (3 + 7 и 5 + 5), а число 70 — пять (3 + 67, 11 + 59, 17 + 53, 23 + 47 и 29 + 41). На этом рисунке показаны данные по всем четным числам от 6 до 411 678. Любопытно, что есть несколько «лучей» с повышенной плотностью точек рядом с ними. Цвета никакой специальной информации не несут.
Из общих соображений кажется логичным, что чем больше число, тем больше должно быть и количество способов представить его в виде суммы двух простых слагаемых. Но всё совсем не так просто, и с этим связана одна из давних нерешенных задач в теории чисел.
В 1742 году немецкий математик Кристиан Гольдбах в письме Леонарду Эйлеру выдвинул гипотезу о том, что каждое нечетное число, начиная с 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел. Эйлер в ответном письме указал, что это предположение можно усилить: каждое четное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Так появилась задача, которая не решена уже больше двух с половиной веков, — так называемая бинарная проблема Гольдбаха.
Утверждение о представлении нечетного числа в виде суммы трех простых чисел называют тернарной проблемой Гольбаха. Она, очевидно, следует из бинарной проблемы: если четное число можно представить в виде суммы двух простых чисел, то, прибавив 3, получим разбиение нечетного числа на три слагаемых. В 1937 году тернарную проблему для всех достаточно больших чисел доказал советский математик И. М. Виноградов. Слова «для всех достаточно больших чисел» означают, что гипотеза верна для всех чисел, которые больше какого-то конкретного очень большого числа. Интересно, что в доказательстве Виноградова это число не приводилось. Позже оценки для него все-таки появились. Студент Виноградова К. Бороздин показал, что хватит числа 3315. Это число порядка 106 846 168 — в нем около 7 млн цифр. Затем другие математики постепенно снижали эту границу, но и сейчас лучший результат настолько велик, что исключает прямую проверку гипотезы на компьютере. К счастью, есть и другие подходы к решению, и в 2012 и 2013 годах перуанский математик Харальд Хельфготт опубликовал две статьи с результатами, из которых следует доказательство тернарной проблемы.
А вот с бинарной проблемой успехи гораздо скромнее. В 1930 году Лев Шнирельман доказал, что любое целое число представимо в виде суммы не более чем 800 000 простых чисел. Потом этот результат неоднократно улучшался, и в 1995 году было показано, что любое четное число можно представить в виде суммы не более чем шести простых чисел. Из справедливости тернарной проблемы, кстати, следует, что слагаемых нужно не более четырех. Кажется, что это уже совсем близко к заветной цели, но это не так. Компьютерная проверка пока добралась до чисел порядка 1018.
Евгений Епифанов
Из общих соображений кажется логичным, что чем больше число, тем больше должно быть и количество способов представить его в виде суммы двух простых слагаемых. Но всё совсем не так просто, и с этим связана одна из давних нерешенных задач в теории чисел.
В 1742 году немецкий математик Кристиан Гольдбах в письме Леонарду Эйлеру выдвинул гипотезу о том, что каждое нечетное число, начиная с 5, можно представить в виде суммы трех простых чисел. Эйлер в ответном письме указал, что это предположение можно усилить: каждое четное число, начиная с 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Так появилась задача, которая не решена уже больше двух с половиной веков, — так называемая бинарная проблема Гольдбаха.
Утверждение о представлении нечетного числа в виде суммы трех простых чисел называют тернарной проблемой Гольбаха. Она, очевидно, следует из бинарной проблемы: если четное число можно представить в виде суммы двух простых чисел, то, прибавив 3, получим разбиение нечетного числа на три слагаемых. В 1937 году тернарную проблему для всех достаточно больших чисел доказал советский математик И. М. Виноградов. Слова «для всех достаточно больших чисел» означают, что гипотеза верна для всех чисел, которые больше какого-то конкретного очень большого числа. Интересно, что в доказательстве Виноградова это число не приводилось. Позже оценки для него все-таки появились. Студент Виноградова К. Бороздин показал, что хватит числа 3315. Это число порядка 106 846 168 — в нем около 7 млн цифр. Затем другие математики постепенно снижали эту границу, но и сейчас лучший результат настолько велик, что исключает прямую проверку гипотезы на компьютере. К счастью, есть и другие подходы к решению, и в 2012 и 2013 годах перуанский математик Харальд Хельфготт опубликовал две статьи с результатами, из которых следует доказательство тернарной проблемы.
А вот с бинарной проблемой успехи гораздо скромнее. В 1930 году Лев Шнирельман доказал, что любое целое число представимо в виде суммы не более чем 800 000 простых чисел. Потом этот результат неоднократно улучшался, и в 1995 году было показано, что любое четное число можно представить в виде суммы не более чем шести простых чисел. Из справедливости тернарной проблемы, кстати, следует, что слагаемых нужно не более четырех. Кажется, что это уже совсем близко к заветной цели, но это не так. Компьютерная проверка пока добралась до чисел порядка 1018.
Евгений Епифанов
Изображение ©
Jean-Francois Colonna с сайта imaginary.org.