Теорема Тота

Суммарная ширина «ленточек», которые полностью покрывают d-мерную единичную сферу, не может быть меньше, чем число π. Этот факт доказали математики из МФТИ (Россия) и Техниона (Израиль), статья ученых опубликована в Geometric and Functional Analysis.

Прежде чем перейти к задаче, которую изучали ученые, расскажем немного про ее историю. В 1932 году польско-американский математик Альфред Тарский предположил, что любое выпуклое тело ширины W, вложенное в d-мерное Евклидово пространство ℝd, можно покрыть только таким набором «дощечек», суммарная ширина которых превышает (или равна) W.

Поясним это предложение. Грубо говоря, евклидовость пространства означает, что в нем квадрат расстояния между двумя точками равен сумме квадратов их координат, записанных в прямоугольной системе (в действительности все сложнее, но здесь ограничимся расстоянием).

Дощечка ширины w — это область пространства, заключенная между двумя параллельными плоскостями, которые отстоят друг от друга на расстояние w. В двумерном случае это будут такие бесконечно длинные полоски (смотри приложенный рисунок). Соответственно, ширина выпуклого тела — это минимальное расстояние между двумя параллельными плоскостями, между которыми его можно зажать.

Тарский показал, что его предположение выполняется для плоского (двумерного) диска, однако многомерное обобщение оставалось недоказанным почти двадцать лет. Только в 1951 году Банг (Thøger Bang) окончательно разрешил эту задачу.

Рисунок 1: Задача, решенная Тарским: полное покрытие круга с единичным радиусом полосками так, что их суммарная ширина не меньше 2 (диаметр круга). Каждая из пяти полосок имеет свою ширину и обозначена уникальным цветом.

Однако в данной статье математики Александр Полянский и Цзылин Цзян рассматривали несколько видоизмененную задачу, сформулированную венгерским математиком Ласло Фейеш Тотом в 1973 году. Они пытались покрыть единичную d-мерную сферу не «дощечками», как в задаче Тарского и Банга, а «полосками» (или «ленточками», если говорить более образно) — зонами, принадлежащими поверхности сферы, а не d+1-мерному пространству, в которое сфера вложена.

Чтобы построить такую зону, проведем через центр сферы плоскость — она вырежет на ее поверхности окружность. Затем отступим от этой окружности в обе стороны на расстояние ω/2, которое мы будем мерить вдоль искривленной поверхности сферы (так называемое сферическое расстояние, spherical distance). Получится, будто мы обернули сферу ленточкой постоянной ширины. В результате гипотеза Тота звучит очень похоже на предположение Тарского, только в ней ширину в смысле расстояния в Евклидовом пространстве нужно поменять на ширину в смысле сферического расстояния:

«... единичную сферу можно покрыть полосками, суммарная ширина которых не превышает ширины сферы, то есть π».

Вообще говоря, Тот формулировал гипотезу для двумерной сферы и одинаковых зон, однако математики обобщили ее на случай произвольной размерности.

Рисунок 2: Желтым цветом на поверхности сферы обозначена одна зона ширины ω.

Хотя предположение Тота кажется интуитивно понятным, не стоит забывать, что в математике интуиция иногда подводит (например, как в случае парадокса Банаха-Тарского). Поэтому математическое доказательство должно быть строгим. Такое доказательство как раз было найдено и опубликовано Полянским и Цзяном.

Теорему математики доказывали от противного. Другими словами, они предположили, что суммарная ширина полосок меньше π, и показали, что в этом случае существует точка, которая лежит на сфере, но не покрывается полосками. Для этого взяли за основу координаты, описывающие полоски, и собрали из них множество точек в d+1-мерном пространстве, в которое вложена сфера.

Если все это множество целиком лежало внутри сферы, построить искомую точку на ее поверхности было несложно. Если же какие-то из этих точек выбивалась за пределы сферы, математики уменьшали число зон, сохраняя при этом их суммарную ширину, и повторяли рассуждения. В конечном счете либо все точки оказывались внутри сферы (и тогда срабатывала первая часть доказательства), либо часть из них попадала на ее поверхность.

Однако в последнем случае d-мерную задачу можно свести к одномерной (то есть окружности), на которой предположение Тота проверить очень просто. Таким образом, всегда можно построить точку, которая лежит на поверхности сферы и не покрывается полосками, если их суммарная ширина меньше π.

Рисунок 3: Полное покрытие сферы зонами. Каждая из пяти зон имеет свою ширину и обозначена уникальным цветом.

При доказательстве авторы были вдохновлены идеей Банга, который использовал для решения задачи о покрытии тела полосками построение специального конечного множества точек внутри тела, среди которых одна не покрыта полосками. Математики, как и Банг, шли в каком-то смысле от противного: предполагали, что сумма ширин зон, полностью покрывающих сферу, меньше π, и хотели получить противоречие: найти точку, которая лежит на сфере, но не покрыта зонами.

Рисунок 4: Гипотеза Ласло Фейеш Тота. Покрытие сферы с единичным радиусом зонами одинаковой ширины. Случай минимальной суммарной ширины зон равной π. Каждая зона обозначена уникальным цветом.

Авторы показали, что можно построить такой набор точек в трехмерном пространстве, чтобы по крайней мере одна точка не была покрыта полосками, образующими зоны. Если все эти точки будут находиться внутри сферы, то будет несложно построить одну точку на ней, не покрытую полосками, а значит, и зонами. Если же какая-то из точек множества окажется за пределами сферы, то в этом случае удается заменить несколько зон одной большой зоной с шириной равной сумме всех ширин этих зон. Таким образом, удается в исходной задаче уменьшить число зон, но при этом не изменить их суммарную ширину, то есть в какой-то момент получится найти точку на сфере, не покрытую зонами. Это противоречит тому, что сумма ширин зон меньше π, и доказывает гипотезу Ласло Фейеш Тота.

Задача решалась в n-мерном пространстве, но, по словам ученых, эта постановка и доказательство ничем не отличается от трехмерного случая.

Александр Полянский, сотрудник кафедры дискретной математики МФТИ, один из авторов работы:

«Задача Ласло Фейеш Тота привлекала внимание математиков, занимающихся дискретной геометрией, вот уже более 40 лет. У этой задачи оказалось изящное решение, и нам посчастливилось его найти. Задача Ласло Фейеш Тота навела нас на мысль о другой, более сильной гипотезе о покрытии сферы смещенными зонами, полученными пересечением единичной сферы с трехмерными полосками-дощечками, не обязательно симметричными относительно центра».