Бутылка Кляйна

Изображение бутылки Кляйна,

созданное в программе трехмерного моделирования

Бутылка Кляйна - это математическая неориентируемая поверхность, в которой неразличимы внутренняя и внешняя стороны. Бутылка Кляйна впервые была описана в 1882 году немецким математиком Феликсом Кляйном (Felix Klein). Эта поверхность тесно связана с другой загадочной поверхностью - лентой Мебиуса. Исходное название бутылки Кляйна - "Klein Fla-e-che" (Fläche = поверхность) поверхность Кляйна. Однако, в названии слово Fläche было интерпретировано как Fla-s-che (бутылка), и из-за доминирования английского языка утвердилось в математической науке, и позднее термин "бутылка Кляйна" также вошел в обиход и в Германии.

Представим себе бутылку с отверстием в дне. Теперь мысленно удлиним горлышко бутылки, изогнем его в обратном направлении и направим внутрь бутылки сквозь стенку, не касаясь ее (это невозможно произвести в трехмерном пространстве), далее удлиним горлышко до дна бутылки и соединим края горлышка с краями отверстия в дне бутылки. Настоящая бутылка Кляйна в четырехмерном пространстве не пересекается сама с собой.

В отличие от реальных бутылок, поверхность Кляйна не имеет границы, где бы она прерывалась. В отличие от шара или тора, муха, ползущая по поверхности бутылки Кляйна, может попасть с внешней стороны на внутреннюю, не проходя сквозь поверхность.

Математика

Поверхность Кляйна в виде "фигуры 8"

Поверхность Кляйна в виде "фигуры 8" может быть представлена в виде системы уравнений с параметрами, которая выглядит гораздо проще, чем для классической бутылки Кляйна.

В этом случае круг самопересечения - это окружность, лежащая в плоскости XY. Положительная константа r задает радиус этой окружности. Параметр u задает угол в плоскости XY, а v - позицию относительно начала координат.

Топологически, бутылка Кляйна может быть определена как квадрат [0,1] x [0,1] со сторонами, определяемыми соотношениями (0,y) ~ (1,y) для 0 ≤ y ≤ 1 и (x,0) ~ (1-x,1) для 0 ≤ x ≤ 1, как показано на диаграмме слева.

Свойства

Если рассечь бутылку Кляйна на две половинки вдоль плоскости симметрии, то получатся две зеркальных ленты Мебиуса, одна - с разворотом вполоборота вправо, другая - с разворотом вполоборота влево. Фактически, возможно рассечь бутылку Кляйна так, что получится одна лента Мебиуса.

Иначе, бутылка Кляйна может быть представлена в виде двух лент Мебиуса, соединенных друг с другом обычной двухсторонней лентой. На рисунке ниже внутренняя поверхность этой ленты окрашена белым цветом, а внешняя - голубым.

Бутылка Кляйна может быть создана из одного цилиндра. Один из краев цилиндра загибается в обратную сторону, проходит сквозь цилиндр и склеивается с другим краем. Чтобы совершить это склеивание, необходимо исказить ширину цилиндра. На рисунке ниже показано это преобразование. Для наглядности внешняя сторона цилиндра окрашена в белый цвет, а внутренняя - в зеленый.

Колекция бутылок Кляйна

Спаивая друг другом классические бутылки Кляйна можно получить более сложные поверхности. Ниже представлена Двойная бутылка Кляйна, похожая на песочные часы, а также Тройная бутылка Кляйна в виде треугольника.

Двойная бутылка Кляйна

Тройная бутылка Кляйна

Alan Bennett создал рекурсивную версию бутылки Кляйна для Музея Науки в Лондоне. Данная фигура состоит из трех бутылок Кляйна, помещенных одна внутрь другой.

Рекурсивная бутылка Кляйна

Чаще всего трехмерные модели бутылки Кляйна изготавливаются из стекла. Это позволяет рассматривать всю фигуру целиком, включая внутренние части. Bathsheba Grossman создала модель с использованием технологии 3D-печати. Чтобы сделать модель просматриваемой, она прорезала в ней множество шестиугольных отверстий.