 |
Ну,
предположим, ква…
|
Как развивается научная модель в естественных науках? Накапливается житейский либо научный опыт, его вехи аккуратно формулируются в виде постулатов и образуют базу модели: набор утверждений, принимаемых всеми, кто работает в рамках этой модели.
Новые исследования и добытые в них знания могут поколебать набор утверждений, принимаемых в качестве бесспорных, и, если к тому появляются основания, какие-то утверждения заменяются на новые. Например, когда на пороге ХХ века началось развитие физики в области, выходящей за пределы привычного мак-ромира, был сформулирован постулат о том, что скорость света предельна, больше её скоростей не бывает.
Постулаты реальной науки — результат большой и длительной работы по накоплению знаний. Их невозможно доказать абсолютно, но в конкретный момент они лучше всего подходят для описания наблюдаемой реальности и не вызывают явных противоречий. Если мы исходим из того, что яблоко падает с ветки на землю, а не улетает куда угодно, то мы принимаем закон всемирного тяготения, хотя доказать его в абсолютном, логическом смысле слова далеко не просто, если вообще возможно.
Теорема Гёделя — это математическое утверждение, сделанное относительно одного конкретного инструмента познания — логики.
Любую логику задают три структурных элемента: её алфавит, утверждения и правила вывода.
Алфавит — это, например, символы переменных (A, B, C…), которые принимают различные значения, и кванторы существования и общности. С их помощью можно строить утверждения, например такое: «Любой дедушка — мужчина» («(любое) х, принадлежащее множеству Х, принадлежит также его множеству Y», где х — человек, Х — множество мужчин, имеющих внуков, а Y — множество всех мужчин).
Это утверждение является высказыванием — оно всегда либо истинно, либо ложно. Но изменим его немного: «Любой предок старше тебя на два поколения — мужчина», — и в зависимости от допустимых значений выражения «предок на два поколения старше тебя» утверждение окажется либо истинным, либо ложным. Для переменной х («предок старше на два поколения») возможно четыре значения для каждого x: две бабушки и два дедушки. Из них на множестве бабушек утверждение будет ложным, а на множестве дедушек — истинным.
Разные утверждения могут содержать одну и ту же переменную, определённую на одном и том же множестве, и истинность обоих будет одинаковым образом зависеть от её значения. Допустим, в нашем мире все мужчины любят рыбалку, а все женщины — нет, тогда утверждение «Человек любит рыбалку» истинно на множестве мужчин и ложно на множестве женщин. Иначе говоря, для любого значения переменной, при котором истинно первое утверждение, будет верно и второе.
Правила вывода позволяют конструировать из таких утверждений новые. Например, утверждение «Любой дедушка любит рыбачить» выведено из двух предыдущих, потому что любой дедушка — мужчина (по первому утверждению), а все мужчины любят рыбачить (по второму). Является ли оно истинным?
Для этого нам придётся задать себе вопрос: а что такое истинное утверждение?
Логика отвечает на него так: это утверждение, которое выводится из набора аксиом данной логики с помощью правил вывода данной логики или само является аксиомой. Иначе говоря, если, пользуясь правилами вывода, мы можем вывести из истинных утверждений какое-то новое утверждение, оно тоже будет истинно.
Новые исследования и добытые в них знания могут поколебать набор утверждений, принимаемых в качестве бесспорных, и, если к тому появляются основания, какие-то утверждения заменяются на новые. Например, когда на пороге ХХ века началось развитие физики в области, выходящей за пределы привычного мак-ромира, был сформулирован постулат о том, что скорость света предельна, больше её скоростей не бывает.
Постулаты реальной науки — результат большой и длительной работы по накоплению знаний. Их невозможно доказать абсолютно, но в конкретный момент они лучше всего подходят для описания наблюдаемой реальности и не вызывают явных противоречий. Если мы исходим из того, что яблоко падает с ветки на землю, а не улетает куда угодно, то мы принимаем закон всемирного тяготения, хотя доказать его в абсолютном, логическом смысле слова далеко не просто, если вообще возможно.
Теорема Гёделя — это математическое утверждение, сделанное относительно одного конкретного инструмента познания — логики.
Любую логику задают три структурных элемента: её алфавит, утверждения и правила вывода.
Алфавит — это, например, символы переменных (A, B, C…), которые принимают различные значения, и кванторы существования и общности. С их помощью можно строить утверждения, например такое: «Любой дедушка — мужчина» («(любое) х, принадлежащее множеству Х, принадлежит также его множеству Y», где х — человек, Х — множество мужчин, имеющих внуков, а Y — множество всех мужчин).
Это утверждение является высказыванием — оно всегда либо истинно, либо ложно. Но изменим его немного: «Любой предок старше тебя на два поколения — мужчина», — и в зависимости от допустимых значений выражения «предок на два поколения старше тебя» утверждение окажется либо истинным, либо ложным. Для переменной х («предок старше на два поколения») возможно четыре значения для каждого x: две бабушки и два дедушки. Из них на множестве бабушек утверждение будет ложным, а на множестве дедушек — истинным.
Разные утверждения могут содержать одну и ту же переменную, определённую на одном и том же множестве, и истинность обоих будет одинаковым образом зависеть от её значения. Допустим, в нашем мире все мужчины любят рыбалку, а все женщины — нет, тогда утверждение «Человек любит рыбалку» истинно на множестве мужчин и ложно на множестве женщин. Иначе говоря, для любого значения переменной, при котором истинно первое утверждение, будет верно и второе.
Правила вывода позволяют конструировать из таких утверждений новые. Например, утверждение «Любой дедушка любит рыбачить» выведено из двух предыдущих, потому что любой дедушка — мужчина (по первому утверждению), а все мужчины любят рыбачить (по второму). Является ли оно истинным?
Для этого нам придётся задать себе вопрос: а что такое истинное утверждение?
Логика отвечает на него так: это утверждение, которое выводится из набора аксиом данной логики с помощью правил вывода данной логики или само является аксиомой. Иначе говоря, если, пользуясь правилами вывода, мы можем вывести из истинных утверждений какое-то новое утверждение, оно тоже будет истинно.