Персидские шахматы

                   Глава из последней книги Карла Сагана «Миллиарды и миллиарды».

Размышления о жизни и смерти на рубеже тысячелетий.

Глава 2. Персидские шахматы

Не может быть языка более всеобъемлющего, чем аналитические уравнения, и более простого, лишенного ошибок и неясностей, т. е. более достойного для выражения неизменных соотношений реального мира… Математический анализ, являясь способностью человеческого разума, восполняет краткость нашей жизни и несовершенство наших чувств.

                  Жан Батист Жозеф Фурье. Аналитическая теория тепла

В известном мне варианте эта история произошла в Древней Персии, хотя с тем же успехом могла случиться в Индии и даже в Китае. В любом случае это было давным-давно. Великий визирь, главный советник правителя, изобрел новую игру, в которой следовало передвигать фигуры по квадратной доске, расчерченной на 64 клетки красного и черного цвета. Самой главной фигурой был правитель, следующей по значимости — визирь, как и следовало ожидать, учитывая личность изобретателя.

Цель игрока состояла в том, чтобы уничтожить главную фигуру противника, и по соответствующим словам персидского языка (шах — правитель, мат — смерть) игра получила название «шахматы». Буквально, «смерть правителя». В русском языке эта игра так до сих пор и называется, в чем, видимо, сказывается особая революционность русского народа. Время шло, менялись фигуры, их ходы и правила игры. Так, место визиря теперь занимает ферзь, обладающий несравнимо большими возможностями.

Как шаху могла понравиться игра «Убей правителя» — загадка. Однако, гласит легенда, шах был настолько восхищен новым развлечением, что предложил великому визирю самому назначить себе награду. Предложение не застало того врасплох. Визирь ответил, что он человек скромный и просьба его будет самой скромной. Вот игровая доска, расчерченная на восемь столбцов и восемь рядов. 

Пусть на первую клетку положат всего лишь одно зернышко пшеницы, на вторую в два раза больше, на третью — еще в два раза больше и так далее, пока все клетки не будут заполнены. Шах запротестовал. Столь ничтожная плата за такое замечательное изобретение! Он предлагал драгоценности, красавиц, дворцы. Но мудрец, смиренно потупившись, отвергал любые дары. Все, что ему нужно, — малая толика пшеницы. И правитель, втайне сетуя на непритязательность и упрямство своего советника, согласился.

Однако, когда хранитель царской житницы принялся отсчитывать зерно, открылся неприятный сюрприз. Все началось с малого: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024… Но чем дальше, тем более чудовищными, невообразимо огромными становились числа. Последней, 64-й клетке соответствует почти 18,5 квинтиллиона. Вероятно, великий визирь сидел на диете с высоким содержанием клетчатки.

Сколько весят 18,5 квинтиллионов зерен пшеницы? Если принять размер каждого зернышка равным миллиметру, то их общий вес составит около 75 млрд тонн — намного больше запасов любого шаха. Собственно говоря, это урожай за 150 лет при современных объемах производства. Дальнейшее тонет во мраке времен. Уступил ли шах мудрецу свою державу, коря себя за пренебрежение арифметикой, или предпочел сыграть в новую игру «визирьмат», осталось неведомым.

Возможно, история изобретения персидских шахмат — всего лишь сказка. Но древние персы и индийцы действительно совершили немало блистательных открытий в математике и хорошо представляли, какие результаты дает последовательное удвоение. Если бы шахматные партии разыгрывались на доске с сотней клеток (10 × 10), шах задолжал бы визирю пшеницу общим весом, равным весу Земли. Числовая последовательность, в которой каждое следующее число является результатом умножения предыдущего на фиксированную величину, называется геометрической прогрессией, а соответствующий процесс увеличения итога — экспоненциальным ростом.

Геометрические прогрессии встречаются во всех важных сферах жизни, обыденных и экзотических. Для примера рассмотрим сложный процент. Если бы ваш предок 200 лет назад, вскоре после Войны за независимость, положил в банк $10 под 5% годовых, то на счете уже было бы $10 × 1,05200, или $172 925,81. (Чтобы узнать, сколько будет 1,05200, нужно попросту умножить число 1,05 само на себя 200 раз.) Жаль, что немногие предки так заботятся о благосостоянии отдаленных потомков, да и $10 — в те времена солидная сумма — нашлись бы не у каждого. Если бы ваш щедрый пращур разместил вклад под 6% годовых, вы бы унаследовали больше миллиона, под 7% — больше $7,5 млн. Фантастические 10% годовых принесли бы вам кругленькую сумму — $1,9 млрд.

Аналогично «работает» инфляция. При уровне инфляции 5% в год доллар через год будет стоить $0,95, через два года (0,95) х 2 = $0,91, через 10 лет «похудеет» до $0,61, через 20 — до $0,37 и т. д. Это самым непосредственным образом касается пенсионеров, годовые выплаты которым являются фиксированными и не индексируются с учетом инфляции.

Многократное удвоение и, следовательно, экспоненциальный рост — характерная особенность воспроизводства биологических организмов. Начнем с простого примера — бактерии, размножающейся делением. Через положенное время каждая из двух дочерних бактерий также делится надвое. При достаточном количестве пищи и отсутствии ядов в среде обитания колония бактерий растет в геометрической прогрессии. В самых благоприятных условиях удвоение их численности происходит примерно каждые 15 минут: четыре удвоения в час, 96 в сутки. Одна бактерия весит около одной триллионной доли грамма, но всего через сутки безудержного размножения ее потомки сравняются весом с горой, через каких-нибудь полтора дня — с Землей, а через двое суток перетянут на весах Солнце… Пройдет еще немного времени, и вся Вселенная будет заполнена бактериями. Перспективы не слишком радужные, но, к счастью, несбыточные. 

Почему? Потому что подобный экспоненциальный рост неизбежно упирается в тот или иной естественный барьер. Букашки, например, съедают всю пищу, отравляют друг друга или перестают спариваться, когда их слишком много. Экспоненциальный рост не может продолжаться вечно, иначе он поглотил бы все, но задолго до этого в игру вступает сдерживающий фактор. Экспоненциальная кривая выходит на плато.

Эта особенность очень важна в свете эпидемии СПИДа. Ныне во многих странах количество людей с симптомами этой болезни растет в геометрической прогрессии, удваиваясь ежегодно. Это значит, что каждый год носителей вируса СПИД становится в два раза больше, чем было в прошлом году. СПИД уже привел к огромным людским потерям. Если бы экспоненциальное распространение эпидемии продолжилось, человечество ждала бы небывалая катастрофа. Через 10 лет число заболевших увеличилось бы в тысячу раз, а через 20 лет — в миллион. 

Умножив нынешнее количество больных на миллион, получим результат, намного превышающий население Земли. Если бы ежегодное удвоение числа больных СПИДом не имело никаких естественных ограничений, а само заболевание неизбежно приводило к фатальному исходу (и было абсолютно неизлечимым), то все земляне умерли бы от СПИДа, и очень быстро.

Однако некоторые люди обладают врожденным иммунитетом. Кроме того, по данным Центра по борьбе с инфекционными болезнями Министерства здравоохранения США, экспоненциальный рост заболеваемости СПИДом поначалу происходил почти исключительно в группах риска, представители которых — прежде всего гомосексуальные мужчины, больные гемофилией и лица, употребляющие внутривенные наркотики, — практически не имеют половых контактов с остальным населением. 

Если лекарство от СПИДа не будет найдено, героиновые наркоманы, имеющие привычку колоться общими иглами, умрут. Не все — благодаря врожденному иммунитету, но почти все. Та же судьба ждет гомосексуалистов, имеющих беспорядочные и незащищенные связи, однако минует тех, кто никогда не пренебрегает средствами защиты, хранит верность постоянному партнеру, а также входит в число немногих счастливчиков, невосприимчивых к этому заболеванию. Стопроцентные гетеросексуалы, с начала 1980-х годов не изменяющие друг другу (или практикующие безопасный секс), при условии, что они не пользуются общими шприцами, — а таких людей большинство — в общем, застрахованы от СПИДа.

После того как кривые заболеваемости групп наибольшего риска выйдут на плато, настанет очередь менее уязвимых групп. В настоящее время в Америке это, видимо, гетеросексуальная молодежь, не умеющая обуздывать страсти и увлекающаяся небезопасными экспериментами. Многие из них умрут, кого-то спасет везение, врожденный иммунитет или воздержанность, а пик роста заболеваемости переместится в очередную по рискованности группу — возможно, следующее поколение мужчин-гомосексуалистов. В итоге экспоненциальная кривая всего человечества выйдет на плато, а СПИД убьет гораздо меньше людей, чем все население Земли (что, впрочем, едва ли утешит множество его жертв и их близких).

Кризис перенаселения Земли также связан с явлением экспоненциального роста. Большую часть существования человечества его численность была практически постоянна — рождаемость и смертность уравновешивали друг друга. Такое состояние называется динамическим равновесием. С развитием сельского хозяйства, включая методы возделывания той самой пшеницы, которую так жаждал великий визирь, численность людей стала увеличиваться и вошла в фазу экспоненциального роста. А это что угодно, только не равновесие. 

Сейчас население нашей планеты удваивается за 40 лет. Каждые 40 лет нас становится в два раза больше. Английский священник Томас Мальтус еще в 1798 году заметил: население, растущее по экспоненте, — в терминологии Мальтуса, в геометрической прогрессии — будет голодать при любом росте производства продуктов питания. Никакая зеленая революция, никакая гидропоника, никакое освоение пустынь не компенсирует экспоненциального роста количества едоков.

За пределами Земли решения этой проблемы также не существует. Сейчас ежедневно рождается примерно на 240 000 человек больше, чем умирает. Наши возможности, мягко говоря, недостаточны, чтобы отправлять в космос 240 000 переселенцев в день. Никакие базы на земной орбите, на Луне или на Марсе не вместят сколько-нибудь заметную часть столь бурно растущего населения. Даже если бы мы могли перебросить всех в другие звездные системы на кораблях со сверхсветовыми скоростями, это бы не помогло. Все пригодные для жизни планеты Млечного Пути оказались бы перенаселенными уже через тысячелетие. Все бесполезно, пока мы не снизим темпы воспроизводства. Экспоненциальный рост — это серьезно.

На рисунке ниже представлена кривая изменения населения Земли. Сейчас мы находимся как раз в фазе резкого экспоненциального роста (или вот-вот из нее выйдем). Но многие страны, например, США, Россия и Китай, уже достигли или скоро достигнут состояния, в котором рост населения тормозится и наступает динамическое равновесие. Это так называемый нулевой прирост популяции. Однако рост в геометрической прогрессии настолько масштабен, что общая ситуация все равно не изменится, если хотя бы малая часть землян будет и дальше воспроизводиться экспоненциально. Общая численность человечества также будет расти экспоненциально.

Существует убедительно доказанная связь бедности и высокой рождаемости. В странах больших и малых, капиталистических и коммунистических, католических и мусульманских, на Западе и на Востоке — практически везде экспоненциальный прирост населения замедляется или прекращается, когда удается победить нищету. Происходит так называемый демографический сдвиг. Насущнейшая стратегическая необходимость человеческого вида — реализовать этот сдвиг во всех уголках нашей планеты. Не только в силу морального долга, но и с точки зрения прямой выгоды богатые страны должны помочь бедным добиться экономической стабильности. Одна из главных причин мирового демографического кризиса — бедность.

У демографического сдвига имеются любопытные исключения. Есть страны, где при высоком среднедушевом доходе уровень рождаемости все равно значителен. Это государства, где населению практически не доступны средства контрацепции и/или женщины практически лишены политического влияния.

Связь между этими факторами очевидна. Во время работы над этой книгой на Земле жило около 6 млрд человек. При сохранении нынешних темпов роста через 40 лет нас будет 12 млрд, через 80 лет — 24 млрд, через 120 лет — 48 млрд… По общему мнению, Земля не способна прокормить столько людей. Нас уже настолько много, что искоренение бедности в мировом масштабе представляется самым дешевым и, разумеется, самым гуманным способом преодоления кризиса из всех, которыми человечество будет располагать еще многие десятилетия. Наша задача — обеспечить повсеместный демографический сдвиг и вывести на плато кривую роста населения. Мы должны избавить жителей всех стран от нищеты, обеспечить их безопасными и эффективными средствами контроля рождаемости и сделать женщин реальной силой в обществе (путем допуска в исполнительные, законодательные, судебные органы власти, силовые ведомства и институты, влияющие на общественное мнение). В противном случае активизируются другие процессы, над которыми мы не властны.

Кстати говоря…

Идея деления атомного ядра впервые пришла в голову венгерскому физику-эмигранту Лео Сциларду в Лондоне в сентябре 1933 году. Его занимал вопрос о том, дано ли человеку высвободить колоссальную энергию, заключенную в ядре атома. Что произойдет, если направить нейтрон в ядро? (Из-за отсутствия электрического заряда нейтрон не будет отталкиваться положительно заряженными протонами и столкнется с ядром).

Пока ученый ждал зеленого сигнала светофора на перекрестке Саутгемптон-роуд, его осенило, что может существовать некое вещество, какой-то химический элемент, атом которого при соударении с одним нейтроном испускает два! Каждый из этих двух нейтронов может выбить еще по паре нейтронов из других атомов… И перед мысленным взором Сциларда предстала картина цепной ядерной реакции — лавинообразный процесс экспоненциального размножения нейтронов и распада атомных ядер. Тем вечером в маленьком номере отеля Strand Palace он рассчитал, что лишь несколько килограммов вещества, если бы удалось вызывать в нем управляемую цепную реакцию, могли бы целый год снабжать энергией небольшой город… Или мгновенно уничтожить этот город, если бы вся эта энергия выделилась одномоментно. 

Впоследствии Сцилард эмигрировал в США и начал методично перебирать химические элементы в поисках такого, атомы которого при бомбардировке нейтронами излучают больше нейтронов, чем с ними сталкивается. Уран показался ему многообещающим. Сцилард убедил Альберта Эйнштейна написать ставшее знаменитым письмо президенту Рузвельту с призывом как можно скорее создать в США атомную бомбу. Сцилард возглавил первый успешный эксперимент по делению урановых ядер, поставленный в Чикаго в 1942 году, который и стал первым шагом на пути к созданию ядерного оружия, и всю оставшуюся жизнь пытался раскрыть человечеству глаза на опасность чудовищной силы, которую сам же выпустил на свободу. Так Лео Сцилард открыл для себя мощь экспоненциального роста.

У каждого из нас двое родителей, четверо бабушек-дедушек, восемь прародителей, 16 прапрародителей и т. д. С каждым переходом на поколение назад число предков по прямой линии удваивается. Аналогии с легендой о персидских шахматах очевидны. Допустим, поколения сменяются каждые 25 лет. Тогда 64 поколения укладываются в 64 × 25 = 1600 лет (столько лет назад Древний Рим приблизился к своему краху). Выходит, каждый из ныне живущих должен был иметь в 400 году нашей эры около 18,5 квинтиллиона предков? Причем без учета родственников по боковым линиям. Но это намного больше всего населения Земли, тогдашнего и нынешнего, намного больше суммарного числа когда-либо живших людей. Где же ошибка?

В предпосылке, что все наши прямые предки — разные люди. Разумеется, это не так. К одному и тому же предку восходит множество линий наследования. С каждым мы соединены многими пересекающимися родственными связями. По мере продвижения вглубь времен число пересечений становится огромным.

Это относится ко всему человечеству. Достаточно углубившись в прошлое, можно найти общего предка любых двух людей на Земле. Всякий раз, как избирается новый президент США, кто-нибудь — как правило, в Англии — непременно находит его родственные связи с британской королевой. Считается, что это объединяет носителей английского языка. У двух представителей одного народа или этноса или уроженцев достаточно изолированного региона, имеющих документированную генеалогию, найти общего предка не проблема. Но даже если следы его теряются в дали времен, он обязательно есть. Все мы родичи — абсолютно все, живущие на Земле.

Еще один яркий пример геометрической прогрессии связан с понятием так называемого периода полураспада. Радиоактивный «материнский» элемент, допустим, плутоний, распадается в дочерний элемент, обычно менее опасный. Это не моментальный процесс, он протекает во времени по определенному закону. Через известный промежуток — период полураспада — распадется половина атомов. Оставшиеся продолжат делиться, по прошествии еще одного такого же временного интервала половина их также распадется и т. д. 

Например, при периоде полураспада, равном году, половина имеющегося количества атомов распадется через год, половина оставшейся половины, или четверть исходного количества, — через два года, одна восьмая от начального числа — через три года, одна тысячная — через 10 лет и т. д. У каждого элемента свой период полураспада. Этот показатель приходится учитывать при решении проблемы хранения отработавшего топлива АЭС или при расчете радиоактивного заражения местности в ходе ядерной войны. 

Это пример экспоненциального уменьшения, противоположный представленному в персидской легенде экспоненциальному росту. Радиоактивный распад лежит в основе основного метода археологической датировки. Если измерить содержание в образце двух радиоактивных материалов — материнского и дочернего, являющегося результатом его распада, — то можно оценить возраст образца. Благодаря этому методу мы узнали, что так называемая Туринская плащаница — не погребальные пелены Христа, а поддельная реликвия XIV в. (когда она была обнародована церковными иерархами), что гоминиды устраивали стоянки с кострами миллионы лет назад, что самым древним ископаемым останкам живого существа, найденным на Земле, по меньшей мере 3,5 млрд лет, а самой Земле 4,6 млрд лет. Разумеется, космос еще на миллиарды лет старше. 

Если вы понимаете, что такое геометрическая прогрессия, многие тайны Вселенной открываются перед вами. Зная лишь качественные характеристики какого-то явления, вы не двинетесь далее самого общего представления о нем. Количественная характеристика — определенный числовой параметр, отличающий его от бесчисленного множества других феноменов, — первый шаг к подлинному познанию. Вы начинаете постигать красоту этого явления, скрытые в нем возможности и закономерности. Боязнь цифр равносильна добровольному отказу от гражданских прав, поскольку вы сами себя лишаете одного из самых действенных инструментов постижения и изменения мира.