Задачи с подвохом | Логические задачи и головоломки

Книга Николая и Павла Полуэктовых

«Озадачник: 133 вопроса на знание логики, математики и физики»

Книга Николая и Павла Полуэктовых «Озадачник: 133 вопроса на знание логики, математики и физики».

Изначально это была настольная игра: условия задачи, три варианта ответа и решение, чтобы свериться. По тому же принципу устроена и книга.

В данном посте выбраны семь логических задач, которые помогут понять, как изобретение касок увеличило количество раненых солдат и что ответить на смертной казни, чтобы избежать наказания.

О книге

Михаил Левандовский

В книге «Озадачник» радость узнавания вас ждет уже в первой части — логике. Все то, на чем тренируется хорошая команда «Что? Где? Когда?» в начале своей карьеры, здесь. Многие логические задачки и не задачки, конечно, а старые добрые загадки, некоторые почти со столетней историей, но так приятно увидеть их снова и вместе.

Задачи по математике и физике — сложнее. Вы могли с ними уже встречаться на страницах учебников (задания с повышенной сложностью) или журнала «Квант». С учетом того, что все они из разных разделов, получается довольно интересное блюдо в стиле фьюжен.

Пригодится всем, кто когда-то знал, но забыл. А еще книга будет очень полезна для родителей — многие из этих задач приятно решать вместе с детьми. В общем, правильная книжка, рекомендую.

Михаил Левандовский,
трижды чемпион мира по "Что? Где? Когда?"

Может ли завтра начаться сегодня? Как быстро перемножить в уме 748 на 1503? Каков минимальный размер черной дыры? Почему не тают ледяные жилища эскимосов, когда в них разводят огонь? Авторы предлагают вам проверить свои знания математики, физики и логики. Каверзные вопросы, варианты ответов с подвохом и подробные решения помогут провести время интересно и с пользой.

Орел или решка?

Монета выпадает орлом или решкой с одинаковой вероятностью ½ (50%). В эксперименте подбросили монету 10 раз и — чудеса! — все 10 раз выпал орел. Какова вероятность, что и на одиннадцатом броске снова выпадет орел?

Варианты ответов

1) ½ (50%). 2) ½ в 11-й степени (0,0005, или 0,05%), практически невероятное событие. 3) Определяется временем между бросками: если подождать достаточно долго, то события будут независимыми, и вероятность составит 50%; если бросить сразу, то вероятность 11 раз подряд получить орла — 0,05%. Правильный ответ: 1 Интуиция подсказывает, что не может 11 раз выпадать орел и, значит, вероятность его появления после того, как он выпал 10 раз подряд, должна быть ниже, чем при первом броске. Увы, интуиция нас подводит — она не ниже, а такая же, всегда 50%. Предыстория процесса на нее никак не влияет. Это, кстати, никак не доказывается, а принимается на веру — есть такая эргодическая гипотеза, которую можно сформулировать и так: подбрасывание одной монеты n раз подряд и одновременное подбрасывание n монет со статистической точки зрения совершенно эквивалентны. Когда мы подбрасываем n монет, они уж точно друг о друге ничего не «знают» и выпадают орлом или решкой с вероятностью 50% (для каждой). Эргодическая гипотеза не доказывается, но при этом безупречно работает в статистике, термодинамике, квантовой физике и т. д. Так что вероятность выпадения орла на 11-м броске остается той же самой — другое дело, что оказаться в реальности, когда перед этим 10 раз подряд выпал орел (или 10 раз подряд выпало «красное» на рулетке, или 10 раз подряд выиграть в техасский покер с двумя двойками и т. п.), крайне маловероятно — 0,1%. В среднем такой результат будет получаться в одном эксперименте из тысячи.

Казнить нельзя помиловать

Суд в одной из ближневосточных стран приговаривает преступника к смертной казни. По законам этой страны приговоренный имеет право на последнее слово, которое может содержать не более одного утверждения. Если оно будет истинным, преступника утопят, если же ложным — тогда повесят. Осужденный произносит одну фразу, после чего казнь немедленно отменяют. Что же такого он сказал?

Варианты ответов

1) «Меня повесят».
2) «Меня не повесят, но утопят».
3) «Меня не повесят и не утопят».
Правильный ответ: 1
Произнеся «Меня повесят», преступник поставил суд в безвыходное положение. Если утверждение истинно и его и правда повесят, то нарушат закон, так как в этом случае осужденного должны были не вешать, а топить. Если же оно ложно, то его не могут ни утопить (топят только тогда, когда утверждение истинно), ни повесить (потому что тогда оно перестанет быть ложным). Чтобы не нарушить закон, судья вынужден отменить казнь.
Рассуждая аналогично, нетрудно показать, что фразы «Меня повесят, но не утопят» и «Меня не утопят» приведут к такому же результату.

Выбор католика

Если вам известно хоть что-то о католической вере, вы легко сможете ответить на этот вопрос.
Может ли искренне верующий католик, следующий всем заветам своей церкви, жениться на сестре своей вдовы?

Варианты ответов

1) Да.
2) Да, но только испросив разрешение священника.
3) Нет.
Правильный ответ: 3
Ну конечно же нет! Если у него есть вдова, то сам-то он кто? Покойник, как есть мертвец. Ни на женитьбу, ни на вообще какое-либо действие он уже, увы, не способен.

Завтра начинается сегодня

В жюль-верновском «Вокруг света за 80 дней» Филеас Фогг заканчивает свое путешествие будучи уверенным, что проиграл пари — по его часам все сроки вышли. Однако на финише выясняется, что он ошибается ровно на один день — прибыл в Лондон на сутки раньше, чем предполагал! Но при этом, если посчитать количество дней, проведенных им в дороге, получается, что его расчеты верны и пари проиграно. Что за парадокс?

Варианты ответов

1) Время в движении течет неодинаково за счет неинерциальности системы отсчета наблюдателя.
2) Сутки длиннее или короче в зависимости от того, куда идешь.
3) Это был високосный год, Фогг просто не учел, что в нем на один день больше.
Правильный ответ: 2

Типичная задача, которая сбивает с толку, хотя ответ на нее очевиден. Причем очень старая: «Если идти по Земле вместе с солнышком, как определить, где кончается сегодня и начинается завтра?» — это еще птица Додо в «Алисе» спрашивала.
Прежде всего заметим, что абсолютное время, проведенное Фоггом в пути, одинаково на всех часах — будь они в Лондоне, Бомбее или Сан-Франциско. При этом в Лондоне прошло 80 суток, а Фогг насчитал 81 — значит, каждые сутки Фогга в среднем были на 1/80 (т. е. примерно на 18 минут) короче суток неподвижного наблюдателя.
Ничего удивительного, он же двигался на восток, сменяя часовые пояса в сторону «упозднения». А после просто не заметил перехода через линию перемены даты (где-то около 180-го меридиана), что тоже не поражает: как заметить воображаемую линию, слева от которой «сегодня», справа «вчера», а время одно и то же?
Осталось добавить, что если бы он шел в обратном направлении (через запад на восток), то сутки его были бы, напротив, длиннее календарных и пари бы он в итоге проиграл.

По какой полосе?

Вы приближаетесь к пункту взимания платы на платной автостраде. Пункт организован традиционно: по правой полосе могут двигаться любые машины — легковые, грузовики, автобусы, по всем прочим только легковые. В какой ряд следует встать?

Варианты ответов

1) В правый, поближе к дальнобойщикам!
2) Только не в правый! Держитесь левее!
3) Совершенно неважно — время ожидания в очереди в каждом ряду примерно одинаково.
Правильный ответ: 1

Очереди в подобных местах имеют некоторую способность к саморегуляции — в том смысле, что каждый стремится встать в ряд наименьшей длины. В результате длины всех рядов и правда примерно одинаковы — но не время ожидания!
Дело в том, что время ожидания определяется средним временем прохождения поста одной машиной (открыть окно, передать купюру, взять сдачу и чек, проехать), помноженным на число машин в очереди. Если длина очереди из легковых и грузовых машин одна и та же, то машин в «грузовой» очереди окажется в три-четыре раза меньше, чем в «легковой», — грузовики, особенно фуры, в несколько раз длиннее легковушек. Значит, эту очередь удастся преодолеть гораздо быстрее!

Парадокс Протагора

Протагор был уважаемым юристом в Древней Греции, и как-то он взял в ученики способного, но небогатого юношу, которого он обучал «в кредит»: они условились, что как только ученик выиграет свой первый судебный процесс, то часть гонорара отдаст учителю. Однако юноша решил бросить занятия. Тогда сам Протагор подал иск против ученика, потребовав уплаты обещанной суммы. Удалось ли ему взыскать плату за обучение?

Варианты ответов

1) Нет, ведь у ответчика железная аргументация: «Если я выиграю процесс, то по определению я не должен платить; если же проиграю, то тоже не должен платить, так как условием оплаты за обучение является выигранный мной процесс».
2) Да, ведь у истца железная аргументация: «Если я выиграю процесс, то по определению ученик должен будет заплатить; если же я проиграю, значит, он выиграет — и должен будет заплатить мне по нашему договору».
3) Спор неразрешим в рамках данного судебного процесса.
Правильный ответ: 3

Замечательным свойством парадокса Протагора оказывается то, что он и правда неразрешим.
Вот уж парадокс так парадокс! Действительно, непогрешимыми оказываются как логика Протагора, так и логика его ученика, при этом их рассуждения приводят к выводам совершенно противоположным.
Один из способов разрешения противоречия заключается в рассмотрении не одного, а двух судебных процессов.
Положим, в первом Протагор проиграл: суд посчитал, что ученик еще не выиграл ни одного процесса, значит, условие уплаты денег за обучение не возникло. Но после вынесения судебного решения оно уже как раз возникло, и Протагор может спокойно подать второй иск, который он гарантированно выиграет, там уже никаких парадоксов.
Для равновесия автор предлагает еще один способ, благодаря которому в выигрыше всегда будет ученик: ему просто следует не самому защищать себя, а нанять адвоката, тогда Протагору никогда никаких денег с него не стребовать.

Травмоопасная каска

До Первой мировой войны никаких касок у британских солдат не было и слишком многие получали ранения в голову. Тогда командование наконец озаботилось выдачей касок, а через некоторое время решили проверить, что дала эта мера, — и ахнули. Мать честная, да количество раненых выросло едва ли не в разы! Саботаж, измена! Если отбросить истерику — что же случилось на самом деле?

Варианты ответов

1) Знамо дело — поставщики на металле сэкономили, солдаты, полагая, что надежно защищены, перестали укрываться тщательно — вот вам и результат.
2) Солдаты травмировались самими касками, из-за их неудачной конструкции.
3) Тыловые крысы, как всегда, считают не то и не так.

Правильный ответ: 3  Если бы военные потери сводились только к раненым, то тревога командования была бы обоснованной. Но — не сводятся, есть еще, увы, и убитые. И если прежде солдата убить было проще, то с введением касок — сложнее. А то, что нас не убивает, — нет, не всегда делает нас сильнее, чаще просто ранит. В общем, число погибших снизилось, число раненых возросло, вот и весь ответ.