Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковского или Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической.
Впервые множество Мандельброта было описано в 1905 году Пьером Фату (Pierre Fatou), французским математиком, работавшим в области аналитической динамики комплексных чисел. Фату никогда не видел изображений, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную. Профессор Бенуа Мандельброт был первым, кто использовал для этого компьютер.
Фракталы были описаны Мандельбротом в 1975 году в его книге «Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension» («Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность»). В этой книге Мандельброт впервые использовал термин «фрактал» для обозначения математического феномена, демонстрирующего столь непредсказуемое и удивительное поведение.
Douady и Hubbard доказали, что множество Мандельброта является связным, хотя в это и трудно поверить, глядя на хитрые системы мостов, соединяющие различные его части.
Поиск красивых изображений множества Мандельброта — интересное хобби для очень многих людей. Они собирают коллекции таких изображений, причём каждое из них может быть описано небольшим количеством параметров, например, просто координатами центра.
Впервые множество Мандельброта было описано в 1905 году Пьером Фату (Pierre Fatou), французским математиком, работавшим в области аналитической динамики комплексных чисел. Фату никогда не видел изображений, которые мы сейчас знаем как изображения множества Мандельброта, потому что необходимое количество вычислений невозможно провести вручную. Профессор Бенуа Мандельброт был первым, кто использовал для этого компьютер.
Фракталы были описаны Мандельбротом в 1975 году в его книге «Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension» («Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность»). В этой книге Мандельброт впервые использовал термин «фрактал» для обозначения математического феномена, демонстрирующего столь непредсказуемое и удивительное поведение.
Douady и Hubbard доказали, что множество Мандельброта является связным, хотя в это и трудно поверить, глядя на хитрые системы мостов, соединяющие различные его части.
Поиск красивых изображений множества Мандельброта — интересное хобби для очень многих людей. Они собирают коллекции таких изображений, причём каждое из них может быть описано небольшим количеством параметров, например, просто координатами центра.
Фрактал Мандельброта прост в построении. Поэтому все оптимизации вычислений испытывают именно на НЁМ. Такие методы как periodicity checking, boundary tracing или perturbation theory были зачаты именно в этом фрактале. И только позже они вводились в более сложные фракталы с более сложными формулами для их построения!
Этот фрактал поначалу кажется просто непредсказуемым. И, хотя некоторым он кажется обычным и однообразным, я Вас уверяю, что в нём можно найти куда более красивые места! (Если, конечно, вы их исследуете в новейших программах - Kalles Fraktaler и Mandel Machine.) В них-то вы и увидите невообразимый прирост скорости за счёт perturbation theroy, а в Mandel Machine есть даже низкоуровневая оптимизация, включая инструкции SSE и AVX.
Этот фрактал поначалу кажется просто непредсказуемым. И, хотя некоторым он кажется обычным и однообразным, я Вас уверяю, что в нём можно найти куда более красивые места! (Если, конечно, вы их исследуете в новейших программах - Kalles Fraktaler и Mandel Machine.) В них-то вы и увидите невообразимый прирост скорости за счёт perturbation theroy, а в Mandel Machine есть даже низкоуровневая оптимизация, включая инструкции SSE и AVX.
У каждого времени — своя научная теория, которая выбивает у здравого смысла почву из-под ног. В 70-е, когда мир уже смирился с парадоксами теории относительности и квантовой механики, фрактальная теория Мандельброта приняла у них эстафету. С подачи Мандельброта наука открыла для себя хаос. Внезапно оказалось, что беспорядок тоже подчиняется строгим законам, которые противоречат нашей интуиции. (Если на круглую сковородку с кипящим маслом насыпать железные опилки, вовсе не очевидно, что на ней сами собой вырастут шестиугольные соты, а это рядовой эффект теории хаоса.)
Что такое фракталы и почему вокруг них столько шума? Это фигуры, у которых каждая малая часть под микроскопом не уступает в сложности целому, а часто и повторяет его. Мандельброт придумал самую простую и эффектную из таких фигур: фрактал Мандельброта — решение уравнения, в котором может разобраться и школьник.
Главная же заслуга Мандельброта в другом: он взял на себя смелость оглядеться по сторонам и обнаружить такие структуры повсюду. Фракталы — это видимый образ процессов, где за ничтожными событиями следуют чудовищные последствия.
Сам Мандельброт признавался, что идея фрактала выросла из детского вопроса, которым он, рядовой сотрудник IBM, задался в 60-е: как узнать длину береговой линии Британии? Можно, конечно, взять карту и измерить границу лекалом. Но уже на спутниковом снимке видны изломы и мелкие бухты, которые карта не учитывает, — а если их учесть, цифра вырастет на сотни километров.
С высоты птичьего полета заметно, что в каждой бухте свои изломы и изгибы. С каждым приближением появляются новые детали, за счет которых результат все растет и растет.
Образцовые фракталы — это, к примеру, ель (у которой каждая ветвь повторяет в миниатюре все дерево), снежинка, сеть кровеносных сосудов, город со своими автодорогами и миллионы других вещей, которые маячат перед глазами у каждого. Мандельброт открыл то, что всегда было у всех на виду. А такие открытия — самые сложные.
Если Эйнштейн опроверг Ньютона, то Мандельброт замахнулся на древних греков: в мире Мандельброта Земля больше не круглая. Его программный труд открывается манифестом:
Фракталы вернули математике наглядность. С подачи Мандельброта картинки в духе психоделической живописи 60-х перекочевали на обложки математических журналов в 80-е. А из математических журналов — в массовую культуру. Клип Джонатана Коултона («Множество Мандельброта — пылающий тест Роршаха») собирает под сотню тысяч просмотров на YouTube.
За 40 лет с момента открытия клякса с заусенцами незаметно превратилась в символ новой математики. Однако, что удивительно, среди чистых математиков Мандельброт всегда был белой вороной (или, если вспомнить Талеба, «черным лебедем»).
Нобелевские премии по физике и экономике обошли его стороной. Но фракталы и нелинейность встряхнули все естественные науки разом: теория пригодилась в физике взрыва, химии биомолекул и медицине. Даже раковая опухоль, которая разъела поджелудочную железу Мандельброта и убила его на 86-м году жизни, — образцовый фрактал; онкологи уже давно увидели в этом факте пользу.
Если разглядеть в комке раковых клеток стройную закономерность — это может быть первым шагом к победе науки над болезнью. Мандельброт, впрочем, не дожил до ощутимых результатов из этой области, но так бывает почти всегда.
Что такое фракталы и почему вокруг них столько шума? Это фигуры, у которых каждая малая часть под микроскопом не уступает в сложности целому, а часто и повторяет его. Мандельброт придумал самую простую и эффектную из таких фигур: фрактал Мандельброта — решение уравнения, в котором может разобраться и школьник.
Главная же заслуга Мандельброта в другом: он взял на себя смелость оглядеться по сторонам и обнаружить такие структуры повсюду. Фракталы — это видимый образ процессов, где за ничтожными событиями следуют чудовищные последствия.
«Враг вступает в город, пленных не щадя, оттого что в кузнице не было гвоздя».Одна песчинка заставляет осыпаться гору песка, но эффект от двух песчинок будет ровно таким же — это и есть нелинейность. А перед осыпанием из песка складывается фрактальный узор (это показали уже последователи Мандельброта — Бак, Тан и Визенфельд), и по узору можно догадаться, что будет дальше. Заменяя песчинку на доллар, получим теорию финансового кризиса в версии Талеба. Этот один доллар, не заплаченный вовремя, вызывает цепную реакцию неплатежей и коллапс кредитной системы.
Сам Мандельброт признавался, что идея фрактала выросла из детского вопроса, которым он, рядовой сотрудник IBM, задался в 60-е: как узнать длину береговой линии Британии? Можно, конечно, взять карту и измерить границу лекалом. Но уже на спутниковом снимке видны изломы и мелкие бухты, которые карта не учитывает, — а если их учесть, цифра вырастет на сотни километров.
С высоты птичьего полета заметно, что в каждой бухте свои изломы и изгибы. С каждым приближением появляются новые детали, за счет которых результат все растет и растет.
Образцовые фракталы — это, к примеру, ель (у которой каждая ветвь повторяет в миниатюре все дерево), снежинка, сеть кровеносных сосудов, город со своими автодорогами и миллионы других вещей, которые маячат перед глазами у каждого. Мандельброт открыл то, что всегда было у всех на виду. А такие открытия — самые сложные.
Если Эйнштейн опроверг Ньютона, то Мандельброт замахнулся на древних греков: в мире Мандельброта Земля больше не круглая. Его программный труд открывается манифестом:
«Облако не шар, гора не конус, береговая линия не окружность».Рябь, неровности, изломы, трещины, пробки на дорогах и внезапные обвалы фондового рынка благодаря Мандельброту перестали считаться дефектом, досадной неприятностью, которая портит стройную картину мира. В них наконец признали движущую силу самого интересного из того, что происходит в атмосфере, толще океана, на улице или на бирже. Современной науке пробка интереснее тысячи автомобилей, которые едут из пункта А в пункт Б с постоянной скоростью.
Фракталы вернули математике наглядность. С подачи Мандельброта картинки в духе психоделической живописи 60-х перекочевали на обложки математических журналов в 80-е. А из математических журналов — в массовую культуру. Клип Джонатана Коултона («Множество Мандельброта — пылающий тест Роршаха») собирает под сотню тысяч просмотров на YouTube.
За 40 лет с момента открытия клякса с заусенцами незаметно превратилась в символ новой математики. Однако, что удивительно, среди чистых математиков Мандельброт всегда был белой вороной (или, если вспомнить Талеба, «черным лебедем»).
Нобелевские премии по физике и экономике обошли его стороной. Но фракталы и нелинейность встряхнули все естественные науки разом: теория пригодилась в физике взрыва, химии биомолекул и медицине. Даже раковая опухоль, которая разъела поджелудочную железу Мандельброта и убила его на 86-м году жизни, — образцовый фрактал; онкологи уже давно увидели в этом факте пользу.
Если разглядеть в комке раковых клеток стройную закономерность — это может быть первым шагом к победе науки над болезнью. Мандельброт, впрочем, не дожил до ощутимых результатов из этой области, но так бывает почти всегда.