Не позволяйте вчерашнему дню влиять на себя сегодня

Топ заблуждений об астрономии 5. Только с космической скоростью можно улететь с Земли


Как ни странно, это тоже миф для условно образованных: совсем необразованные ведь просто ничего не знают про какие-то там «космические скорости».

Однако те, кто про них всё-таки слышали, с большой вероятностью поведают вам что-то в стиле:
«Чтобы космический корабль улетел в космос, он должен набрать первую космическую скорость (вторую, третью или просто «космическую»).
И это — снова свидетельство того, что заученное наизусть вовсе не тождественно понимаемому.

Поскольку на самом деле улететь с Земли куда угодно, вообще говоря, можно с любой скоростью — главное, чтобы она с какого-то момента времени была направлена от Земли.

Когда вы подпрыгиваете, вы не набираете космическую скорость, но при этом вы ведь совершенно точно отрываетесь от земли. И — если у вас богатое самомнение — вы даже можете считать, что вы от неё улетаете.

Да, потом вы на неё, независимо от самомнения, как правило, обратно приземляетесь, но всё равно уже с этого момента можно догадаться, что дело тут не в одной лишь только скорости.

«Скорость изменения скорости» — ускорение — это именно та штука, которая не позволяет вам улететь насовсем. Однако ускорение вызывается суммой сил, поэтому для обнуления ускорения (и, соответственно, вечного движения с имеющейся скоростью) вам нужно лишь подобрать некоторую силу, которая равна силе притяжения вас или космического корабля к Земле в данной точке пространства. Или бОльшую. Если вам это удастся, то вы можете улететь куда угодно, даже со скоростью один миллиметр в год.

Надо будет только подождать достаточно долго. И вот в этом и состоит та самая проблема, которой обязано появление всех этих «космических скоростей» с порядковыми номерами: где нам взять такую силу и чтоб надолго?

Сила притяжения есть всегда, а вот противодействующую ей силу мы вынуждены создавать сами. Например, упругостью наших мышц при прыжке. Или выбросом разогретых газов из ракетного двигателя. Или ещё как-то.

Возможно, в «ещё как-то» скрываются и способы генерации силы сколь угодно долгое время — например, есть соображения по поводу того, что можно было бы хватать спецворонкой молекулы из космоса, часть из них использовать в ядерном синтезе, а другую часть разогревать энергией от первой части, получая таким образом перманентно работающий реактивный двигатель. Но проблема в том, что такое пока только предположено, а не реализовано. Пока что мы просто вынуждены предполагать остановку двигателя в какой-то момент: нам ведь надо экономить топливо, которое мы пока что заливаем в космические корабли на Земле, а не собираем из межпланетного пространства.

И вот тут-то возникает мегачит: если разогнать космический корабль до некоторой скорости, то двигатель можно отключить, и корабль, как рассказывалось в прошлом разделе, хотя и будет падать, но в своём падении будет всё время промахиваться мимо Земли.

Иными словами, в «космических скоростях» речь каждый раз идёт о том случае, когда двигатель уже выключен, включать его обратно не намереваются, но всё равно не хотят, чтобы корабль упал на Землю.

То есть эту фразу следует трактовать буквально: «космическая скорость нужна, чтобы покинуть Землю». «Нужна», а не «обязательна». Это — один из способов реализации задуманного, а не некое общее правило на все случаи жизни.


Как мы видели в предыдущем разделе, такую скорость действительно можно подобрать.

Для этого в общем случае нам надо было бы решить систему дифференциальных уравнений второго порядка. Однако при простом вращении по окружности есть и более простой вариант: нам ведь известна связь между скоростью движения по круговой орбите и центростремительным ускорением. То есть тем ускорением, с которым центростремительная сила поворачивает вектор скорости.
Часто, кстати, это всё неправильно понимается: будто бы центростремительное ускорение создаёт скорость, с которой движется вращающийся по окружности объект. Но нет: оно только лишь поворачивает вектор скорости так, что модуль скорости — длина этого вектора — остаётся неизменной. Скорость же должна быть «какой надо» ещё до начала воздействия силы на объект. «Я вырвал из своей бороды пять волосков, разорвал их на мелкие кусочки и развеял во все стороны. И тогда вокруг Омара Юсуфа стало вращаться много разноцветных, красивых шариков размером от горошины до очень большой тыквы. И это были вполне приличествующие ему спутники и по размеру, и по красоте.

Брату моему, как существу недалёкому, до этого мгновения, видимо, просто не приходило в голову, что он сам может изготовить себе спутников. Сейчас же он, в великой своей гордыне, пожелал себе спутника величиной с гору. И такой спутник у него действительно тотчас же появился. Но так как масса вещества, заключённого в этой горе, во многие тысячи тысяч раз превышала вес взбалмошного и бестолкового брата моего Омара Юсуфа, то Омар Юсуф тотчас же шлёпнулся о созданное им новое небесное тело, упруго, как футбольный мяч, отскочил от него и с воплями стал быстро-быстро вокруг него вращаться».

Л. Лагин. «Старик Хоттабыч»  Увы, всё это — сказка. В описанной ситуации Омар Юсуф не начал бы вращаться вокруг «горы». Он бы подолбился о неё, пока не потратил бы всю свою потенциальную энергию на не совсем упругие столкновения, а потом остался бы на ней лежать. В описанной ситуации просто нечему было разгонять его для «быстрого-быстрого вращения».
Так вот, если двигатели выключены, то единственная сила, которая могла бы создать центростремительное ускорение — сила тяжести планеты в данной точке. Назовём это ускорение «g», но будем помнить, что это не ускорение свободного падения у поверхности, а оное на данном расстоянии от центра планеты.

Чтобы это самое вращение действительно имело место, нужно, чтобы ускорение g было связано со скоростью v и расстоянием от центра планеты r следующим образом:

\displaystyle{g = \frac{{{v^2}}}{r}}

Из чего следует, что требуемая скорость

\displaystyle{v = \sqrt {g\;r}}



Если бы космический корабль летал прямо над поверхностью Земли, то ускорение свободного падения было бы примерно 9,8 м/с2. Радиус же Земли — примерно 6400 километров. То есть скорость вращения по круговой орбите, часто называемая «первой космической», равна

\displaystyle{v\approx \sqrt{9,8\frac{m}{s^{2}} \cdot 6400 km}\approx 7,9\frac{km}{s}}

Большая скорость, да. Однако именно её надо набрать, чтобы выйти на орбиту Земли…

И снова вот и нет.

Ведь если мы с такой скоростью подкинем ракету вертикально вверх, то ракета просто упадёт обратно, а вовсе не выйдет на орбиту. Мало того, что скорость должна быть именно такой, она вдобавок должна быть перпендикулярна силе тяжести — только так можно избежать падения обратно.

Но что если мы возьмём скорость побольше?

Вот тут уже тяжелее. Тут вычисления будут уже менее простыми.


Как было сказано в предыдущем разделе, сила тяжести убывает с расстоянием. То есть та сила, которая пытается уронить космический корабль обратно на планету, тем меньше, чем дальше этот корабль от источника силы — планеты. Не исключено, можно подобрать такую начальную скорость, что, грубо говоря, «тело будет быстрее удаляться, чем тормозиться». То есть за то время, пока корабль улетит на некоторое расстояние, сила тяжести не успеет обнулить его скорость. На этом расстоянии сила тяжести уже меньше, а скорость всё ещё будет такой, что корабль снова успеет отлететь на некоторое расстояние, но эта уменьшившаяся сила снова не успеет его затормозить до нуля. И так до бесконечности.

В этом случае космический корабль улетит от планеты сколь угодно далеко, даже с выключенными двигателями. И только в гипотетической бесконечно далёкой точке его скорость всё-таки обратится в ноль.

Этот вопрос можно рассмотреть через закон сохранения энергии.

В момент старта у космического корабля есть кинетическая энергия, определяемая через его скорость
\displaystyle{\frac{{m\;{v^2}}}{2}}

При улёте на бесконечность скорость обращается в ноль, а вместе с ней и кинетическая энергия. Эта энергия была целиком потрачена на работу против силы тяжести (поскольку больше не на что). Сила же тяжести менялась в зависимости от расстояния, а потому для определения работы против неё нам надо проинтегрировать силу тяжести относительно бесконечно малых приращений этого самого расстояния. От поверхности планеты и до бесконечности.

\displaystyle{\mathop \smallint \limits_r^\infty G\frac{{m\;M}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x = G\frac{{m\;M}}{r}}

Теперь мы можем приравнять энергию в начале к энергии в конце и найти скорость

\displaystyle{\frac{{m\;{v^2}}}{2} = G\frac{{m\;M}}{r}}
\displaystyle{v = \sqrt {2\;G\frac{M}{r}}}

Если вспомнить о связи ускорения свободного падения с фигурирующими тут величинами,

\displaystyle{g = G\frac{M}{{{r^2}}}}

то можно сказать, что

\displaystyle{v = \sqrt {2\;g\;r}}

То есть мы видим, что вторая космическая скорость в корень из двух раз больше, чем первая. В случае с Землёй она равна
\displaystyle{v\approx \sqrt{2}\times 7,9\frac{km}{s}\approx 11,2\frac{km}{s}}

Подобрать «скорость улёта» можно не для всех объектов космоса: там ведь есть ещё чёрные дыры, обладающие достаточной массой для того, чтобы скорость, требуемая для улёта от них, была выше скорости света. Таким образом, даже свету не хватает скорости, чтобы «без реактивного двигателя» от них улететь — оттого-то они и чёрные.
Впрочем, по текущей концепции и с реактивным двигателем тоже улететь бы не удалось — ведь скорость света нельзя превысить. Такой эксперимент, правда, пока никто ещё не делал, поэтому сие на данный момент — лишь предсказание, следующее из теории относительности.

А что же будет в промежутке между первой и второй космическими скоростями?

Ну, вполне понятно, что если минимальная скорость улёта — вторая, то с меньшей скоростью тело не улетит. А если минимальная скорость «непадения» — первая, то оно одновременно с тем и не упадёт. Внутренний голос подсказывает, что тело будет вращаться вокруг планеты, но, видимо, не по окружности. И он подсказывает правильно: действительно вращение будет по эллипсу.

И такая форма добавляет уточнений к космическим скоростям.

В частности, скорость в некоторых точках эллипса может быть и меньше первой космической, а вращение всё равно будет. Просто не по окружности.


На рисунке ниже показана одна из таких точек. Длина красной стрелки на всех рисунках пропорциональна модулю скорости, поэтому даже чисто визуально можно понять, что в указанной точке скорость довольно мала.

То есть, вообще говоря, на некруговую орбиту планеты можно выйти и при меньшей скорости, нежели первая космическая для этой планеты.

Альтернативой эллиптической орбите, впрочем, является круговая, но с другим радиусом, однако в любом случае при выключенных двигателях вектор скорости — то есть её величина и направление — связана с параметрами орбиты. Однозначно связана.



В фильме «Гравитация» вся завязка сюжета строится на игнорировании этой закономерности.
Ну ещё ладно, что там не два, а целых три спутника чудесным образом и с непонятными целями летают по одной и той же орбите — буквально находятся на одной и той же окружности в трёхмерном пространстве.

Это уже крайне странно, но ещё страннее то, что при разрушении одного из спутников, его осколки непонятным образом догоняют другие спутники.

Такого просто не может быть: нельзя находиться на той же орбите, имея разные скорости. Осколки должны были бы начать летать по иным орбитам — скорее всего эллиптическим, падать на Землю, улетать от неё в космос. Как угодно, но только не так, как произошло в фильме.

У них ведь нет двигателей, которыми они могли бы корректировать курс, поэтому они физически не могли полететь быстрее по той же орбите, по которой летал разрушившийся корабль.

Итак,
  • При скорости меньше первой космической, корабль упадёт на планету
  • На первой скорости он будет вращаться по окружности
  • Между первой и второй он будет вращаться по эллипсу
  • Начиная со второй, он улетит от планеты
Для каждой планеты, разумеется, все эти скорости — свои собственные, а не общие на весь космос.

Однако до сих пор все наши расчёты подразумевали, что космический корабль взлетает с планеты, которая является единственным небесным во вселенной. Но, как многие в курсе, это не совсем так.

В частности, где-то рядом с Землёй есть ещё Солнце. Оно большое и массивное, а потому тоже притягивает космический корабль. И в результате стартовавший с реальной Земли корабль — даже если он набрал вторую космическую скорость — улетит совсем даже не в бесконечность: он действительно сможет улететь от Земли, но не от Солнца. Оно его удержит и заставит вращаться вокруг себя (или, как мы уже слышали ранее, это Солнце будет вращаться вокруг него, хотя и думать об этом крайне тяжело).

Повторив аналогичные вышеприведённым рассуждения для космического корабля и Солнца, вместо Земли, мы сможем найти ещё одну космическую скорость — ту, которая нужна, чтобы улететь и от Солнца тоже. Или ещё одну: чтобы выйти на его круговую орбиту. Или ещё одну: чтобы улететь не только от Солнца, а вообще от всей галактики. И так далее.

Много, много космических скоростей. И каждая из них имеет свой смысл. Радикально отличающийся от «она нужна, чтобы оторваться от Земли».

Подытожим.

Первая космическая скорость, это такая скорость, что, если…
  • …мы находимся почти на поверхности Земли,
  • …и скорость направлена параллельно её поверхности в ближайшей к нам точке,
  • …и мы выключили двигатели,
…то мы будем вращаться вокруг Земли до бесконечности по круговой орбите. Точнее, вращались бы, если бы у Земли не было атмосферы, которая своим сопротивлением через некоторое время уронит нас обратно.

А вторая космическая скорость — это такая скорость, что если мы её наберём у поверхности Земли и выключим двигатели, то мы улетим от Земли на орбиту вокруг Солнца.

С самой же Земли или даже от всей галактики при включённых двигателях мы можем улететь с любой скоростью, направленной от Земли или галактики. Только бы топлива хватило.

— Смотри, не разбейся о небесную твердь — заботливо напутствовал брата Хоттабыч, сам не очень-то поверивший Волькиным рассказам о строении вселенной.
— Ладно, не учи учёного! — холодно отозвался Омар Юсуф, со страшной быстротой взвился в воздух, мгновенно раскалился добела и исчез из виду, оставив за собой длинный огненный след.
— Подождём его, друзья мои, — робко предложил Хоттабыч, чувствовавший себя виноватым перед своими друзьями за неприятности, доставленные Омаром Юсуфом.
— Нет, теперь уж жди его — не жди, все равно не дождёшься, — возразил Волька. — Он не послушался моего совета, основанного на научных данных, и никогда уже не вернётся на Землю. Раз твой Омар вылетел со скоростью меньше чем одиннадцать километров в секунду, он теперь будет все время вращаться вокруг Земли. Он сейчас, если хочешь знать, превратился в спутника Земли.
Л. Лагин. «Старик Хоттабыч»

Увы, «научные данные» Вольки о строении вселенной не столь научны, как ему кажется. Омар Юсуф явно движется при помощи магического двигателя, при следующих из контекста параметрах которого он без проблем сможет вернуться на Землю или улететь от неё куда угодно: ведь его мощности, как следует из текста, достаточно, чтобы улететь от Земли с ускорением, а рядом с ней её сила тяжести — наибольшая.

С какой бы скоростью ни двигался Омар Юсуф в некоторый момент времени, чтобы попытаться стать спутником Земли, подобным Луне или искусственным спутникам, ему придётся отключить двигатель. И только после этого его судьба будет зависеть от величины и направления вектора скорости, а также от его положения относительно Земли.

Впрочем, магический двигатель явно позволяет ему корректировать полёт, поэтому летать по окружности вокруг Земли он может даже без отключения двигателя.


Лекс Кравецкий

Другие статьи из этой серии:
  • Часть 1 — Смена времён года
  • Часть 2 — Земля вращается вокруг Солнца
  • Часть 3 — В Солнечной системе 9 планет
  • Часть 4 — В космосе невесомость
  • Часть 5 — Только с космической скоростью можно улететь с Земли
  • Часть 6 — Фазы Луны
  • Часть 7 — Вращение Луны и её обратная сторона
  • Часть 8 — Астероиды
  • Часть 9 — На небе мы видим звёзды




Labels: , ,