В последние 40 лет
фракталы стали очень популярны. Большую роль в этом сыграла книга
франко-американского математика Бенуа Мандельброта «Фрактальная геометрия
природы».
Книга является
расширенным и значительно дополненным переизданием эссе, выпущенных автором в
1975 и 1977 гг., посвященных теме форм, размерности и случайности фракталов. В
новую версию «Фрактальной геометрии» автор не просто добавил новый наглядный
материал, но серьезно пересмотрел текст, удалив некоторые моменты вообще и
подвергнув изменениям материал практически каждого раздела. Но наиболее ценный
этап работы Б. Мандельброта - внесение дополнений, касающихся прежних
наработок. Важную роль в разработке нового издания сыграли результаты новейших
исследований при участии Р. Фосса, создавшего фрактальные хлопья ландшафтов и
планет и В. Алана Нортона, представившего программы, позволившие выполнить
великолепные иллюстрации. Впервые изданное на русском, пособие Б. Мандельброта
- настоящая находка, ведь, несмотря на время,
прошедшее с момента его появления, материал книги, посвященный теории фракталов
и фрактальной геометрии природы, по-прежнему интересен и актуален.
Что
же такое фрактал?
Фрактал - это
геометрическая фигура, в которой один и тот же
фрагмент повторяется при каждом уменьшении масштаба (Лаверье).
Конструктивный фрактал - это множество, получающееся в результате линейных (аффинных) сжимающих отображений подобия.
Примером конструктивного фрактала может служить дерево, ствол которого разделен на две более мелкие ветви. В свою очередь, каждая из этих ветвей разделяется на две более мелкие ветви и т.д.
 |
| Фракталы в природе |
В уме мы можем
проделать эту процедуру бесчисленное число раз и получить древовидный фрактал с
бесконечным числом ветвей. Каждую отдельную ветвь можно, в свою очередь,
рассматривать как отдельное дерево. Эта конструкция имеет сходство с двоичной
системой счисления. Один из примеров фрактала - это множество Кантора. Это не
только один из самых старых фракталов, он является так же существенной частью
многих современных фракталов, например, таких, как кривые Коха и Минковского.
Одним из первых описал динамические фракталы в 1918 году французский математик Гастон Жюлиа в своем объемном труде в несколько сотен страниц. Но в нем отсутствовали какие-либо изображения. Компьютеры сделали видимым то, что не могло быть изображено во времена Жюлиа.
Фракталы используются при анализе и классификации сигналов сложной формы, возникающих в разных областях, например при анализе колебаний курса валют в экономике,в физике твердого тела, в динамике активных сред, для сжатия изображений.
Структуры, похожие на фракталы, можно обнаружить в окружающей нас природе: границы облаков, границы морских побережий, турбулентные потоки в жидкостях, трещины в некоторых породах, зимние узоры на стекле, изображения структуры некоторых веществ, полученные с помощью электронного микроскопа, кровеносная система сердечной мышцы и т.д.
Фрактальная геометрия Природы
Фракталы
Фракталы