Как математики больше 350 лет пытались доказать теорему Ферма и что из этого вышло

Теорема Ферма дразнила математиков более трех веков, хотя она проста на вид, а сам Ферма уверял, что знает, как ее доказать, одна беда — места не хватает записать. Доказать проклятую теорему удалось ученому из Принстона Эндрю Уайлсу около 10 лет назад.

Уайлсу потребовались годы работы и знание самых современных разделов математики. Недавно он получил за это достижение премию, которую называют Нобелевкой для математиков. При этом формулировка теоремы Ферма крайне проста: она утверждает, что нет таких целых значений x, y и z, для которых бы выполнялось равенство xⁿ+yⁿ=zⁿ при n больше 2. 

Эту теорему сформулировал французский математик Пьер де Ферма в XVII веке. Читая «Арифметику» Диофанта, он записал уравнение на полях, в той части книги, где речь шла о теореме Пифагора.

Заметки на полях

Теорема Пифагора известна каждому, кто в школе хотя бы иногда не прогуливал математику: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Теорема была доказана, как можно догадаться, Пифагором, а уже его ученики доказали, что существует бесконечное множество так называемых пифагорейских троек — целых чисел, для которых выполняется условие x²+y²=z² . Например, 3²+4²=5² или 992+49002=49012.

Ферма задался вопросом: а что если вместо квадратов в формуле будут кубы:

x³+y³=z³? Можно ли для такого равенства найти красивые тройки целых чисел? А если в показателе степени будет стоять 4? А если 5? 

Ферма утверждал, что если показатель степени больше двух, то таких троек целых чисел не существует. 

Рядом с формулировкой теоремы Ферма оставил коварную запись: 

«Я нашел поистине удивительное доказательство этого предложения, но поля здесь слишком узки для того, чтобы вместить его». 

В чем заключалось это доказательство, он так никому и не сообщил. 

В обычной жизни Ферма был крупным провинциальным чиновником, а наукой занимался в свободное от работы время. В то время среди математиков было не очень-то принято делиться с коллегами своими результатами. Ферма же выделялся особенной замкнутостью даже среди коллег: он мало с кем обсуждал свои идеи, а когда ему удавалось найти интересное решение сложной математической задачи, он развлекался тем, что отправлял товарищам-математикам формулировки этих задач, но не их решения. Публиковать свои математические выкладки он тоже не стремился

Французский чиновник и математик Пьер де Ферма

Знаменитая теорема не канула в Лету вместе с другими открытиями Ферма лишь благодаря тому, что старший сын эксцентричного ученого-любителя после смерти отца взялся опубликовать все его отрывочные заметки. В них обнаружилось множество интересных и важных для математики теорем — часто без доказательств или лишь с набросками таковых. С тех пор все они были доказаны, и только уравнение, известное теперь как теорема Ферма, упорно не поддавалось.

Загадка на века

Простота формулировки и замечание, оставленное Ферма по поводу доказательства теоремы, дразнили профессионалов и любителей математики на протяжении веков. Ведь Ферма располагал теми же знаниями, что и его современники, значит, для доказательства теоремы требовалось лишь сделать какой-то необычный ход.

 В истории попыток доказать, что «нужных» троек целых чисел не существует, порой случались небольшие прорывы. Так, через сто лет после Ферма Леонарду Эйлеру удалось доказать, что теорема верна при n=3. Другие математики доказали теорему для еще нескольких частных случаев или же намечали возможные подступы к решению задачи. Во второй половине XX века стали доступны компьютеры и математикам удалось показать, что теорема Ферма верна при значениях n от 2 до 500, затем счет пошел на тысячи, затем на миллионы, однако все это по-прежнему не означало, что утверждение Ферма верно для любых значений n.

 Дело жизни

Таково было положение дел, когда о теореме впервые узнал десятилетний Эндрю Уайлс. Он загорелся идеей доказать ее, и эта мысль не оставляла ученого на протяжении всей математической карьеры.

 Во второй половине 1980-х годов Уайлс полностью сосредоточился на теореме Ферма. Он продолжал преподавать в Принстонском университете, но отказался от участия в конференциях и любой другой публичной деятельности. Уайлс никому не рассказывал о своей цели: во-первых, ему не хотелось тратить время на обсуждения, во-вторых, в случае успеха слава досталась бы ему одному. А в третьих, его могли просто не принять всерьез — уж больно много чудаков и сумасшедших покушалось до него на доказательство великой теоремы. Он понимал, что ему потребуются годы работы и боялся, что, если он будет рассказывать о своей работе, в последний момент решающий шаг сделает кто-то другой.

Для того чтобы не вызывать подозрений, Уайлс воспользовался одним из своих исследований, посвященных эллиптическим кривым. Оно было завершено, но математик публиковал его по кусочкам, притворяясь, что продолжает свои исследования в этой области. В тайну своей настоящей работы Уайлс посвятил только жену, и многие коллеги ученого начали считать, что его «исчезновение» связано с тем, что бедняга исчерпал свой математический талант.

Эндрю Уайлс у памятника Пьеру де Ферма

В 1988 году, когда Уайлс вовсю работал над своим доказательством, японский математик Иоичи Мияока заявил, что ему удалось «взломать» теорему Ферма. Математики всего мира принялись изучать выкладки Мияоки и, к несчастью для него, в рассуждениях обнаружились серьезные пробелы, так что Уайлс продолжил работу.

Однако к 1991 году математик перебрал все доступные ему инструменты, а теорема Ферма все еще не поддавалась. Уайлсу пришлось прервать отшельничество, чтобы пообщаться с коллегами и выяснить, нет ли у тех каких-нибудь новых идей, полезных для его работы. И такие идеи нашлись — работа Уайлса сдвинулась с мертвой точки, и он уже предвидел успех, однако математику нужно было проверить все созданные выкладки. Уайлсу требовался эксперт, владеющий всеми тонкостями использованных им методов, однако это означало, что этого человека придется посвятить в свой замысел. И Уайлс доверился своему коллеге в Принстоне Нику Катцу.

Эксперту предстояло разобраться в работе, которую Уайлс вел в течение нескольких лет. Подступиться к такому объему материала было непросто, и Уайлс с Катцом нашли изящный выход. Уайлс объявил курс лекций для аспирантов с весьма расплывчатым названием «Вычисления по поводу эллиптических кривых». На лекциях Уайлс детально излагал ту часть доказательства, в которой он не был уверен и которая нуждалась в проверке. Только Катц знал, к чему все эти выкладки, для всех остальных слушателей это был просто курс лекций, причем крайне сложный, очень детальный и не очень понятно, к чему применимый. Постепенно слушатели разбежались, и в конце концов в аудитории на лекциях присутствовали лишь сами Уайлс и Катц.

Теорема доказана...

Проверка позволила убедиться, что в доказательстве Уайлса нет пробелов. В 1993 году он был уверен, что в его работе все верно. Ученый представил результат своих трудов на крупном математическом симпозиуме в Кембридже в конце июня 1993 года.

Весть о том, что теорема Ферма доказана, наделала много шуму. Тем более что для завершения работы Уайлсу потребовалось сначала доказать так называемую гипотезу Таниямы—Шимуры. Для математиков она не менее, а может быть даже более важна, чем собственно теорема Ферма, так как позволяет установить связь между разделами математики, ранее казавшимися крайне далекими друг от друга. В прессе поднялась шумиха, и Уайлс стал знаменитостью.

...или все-таки нет?

Он отправил свое доказательство для публикации в научный журнал, и шестеро рецензентов принялись за тщательную проверку его выкладок, занимавших 200 страниц. Одна из частей доказательства попала на проверку Катцу. С большинством вопросов, возникающих у рецензентов, Уайлс легко справлялся, однако у Катца возник небольшой вопрос, на который автор доказательства не смог сразу ответить. И чем больше он углублялся в разъяснения, тем очевиднее становилось, что речь идет не о небольшой ошибке, а о серьезной проблеме, пропущенной Катцом и Уайлсом, даже несмотря на устроенный ими курс лекций именно по самой «проблемной» части доказательства.

Уайлс надеялся «починить» доказательство, найдя способ устранить ошибку, но ему это никак не удавалось, и среди математиков поползли слухи, что и на этот раз доказательство теоремы Ферма не выдержало критики. Конечно, Уайлсом и без того была проделана огромная работа, которая дала много важных результатов, но он хотел доказать теорему Ферма, и для него найденная ошибка была кошмаром.

Уайлс снова скрылся от публики и работал лишь с одним из рецензентов своей статьи (и по совместительству бывшим аспирантом) Ричардом Тейлором. Тейлор для этого специально приехал в Принстон. Все лето 1994 года они искали решение проблемы и не нашли. Уайлс уже готов был смириться с поражением, но Тейлор уговорил его продолжить поиски до октября, когда Тейлору нужно было уезжать.

Не надеясь найти решение, Уайлс, по крайней мере, решил понять, почему в его выкладки вкралась ошибка. Утром 19 сентября 1994 года математик сидел в своем кабинете, изучая использованные им методы доказательства, и внезапно его озарило. Он понял, что нужно сделать, чтобы его доказательство снова заработало. Наконец-то он смог отправить статью с доказательством теоремы Ферма, а также совместную с Тейлором статью с необходимыми дополнительными доказательствами в редакцию журнала Annals of Mathematics. Эти работы были опубликованы в 1995 году. Теорема Ферма была доказана,теперь — без всяких сомнений.

Грандиозная шутка

И все же в этой истории осталась одна загадка. Три с половиной века математики бились над теоремой Ферма, а ее доказательство потребовало использования самых современных методов и доказательства другой важной теоремы, сформулированной лишь в XX веке. Всего этого во времена Ферма просто не было. Действительно ли он располагал «поистине удивительным доказательством» своей теоремы? Есть подозрение, что нет, ибо в записках Ферма остались следы поисков решений при n =4 и n=5, что было бы излишне, будь у математика доказательство теоремы в общем виде.

Но даже если самонадеянный математик-затворник ошибся, значение созданной им интриги трудно переоценить. Ощущение, что «истина где-то рядом» вдохновляло на поиски решения многих математиков, и кто знает, как сложилась бы судьба теоремы, не будь она столь популярна